试卷代号：1083 座位号E
中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末孝试（半开卷）
几何基础试题
2010年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
L若向｛-1,0,^｝,；= （-1,1,0｝首尾相连构成三角形，则工=
2.射影对应把矩形变成 .
3.给定无三线共点的 条直线，可决定惟一一条二级曲线.
4.点（4,-2,-2）的非齐次坐标为 .
5.二阶曲线上四点与其上任意第五点相连所得的四直线的 不变.
堂 星 塑史 二、单项选择题（毎小题4分,本题共20分）
1. 下列结论错误的是（ >■
A.aXb垂直于a
C. aXb=bXa
2.在仿射空间内，两个平行平面〔 ）.
A.不相交
C.相交于无穷远点
3.在欧氏几何内，直径对应的圆周角( ).
A.大于7C
D.以上都正确
4.设直线2上的三点A,B,C在仿射变换下变成直线2’上的三点).
B.(ABC) = (A/BZC,)
C.(ABC) = (B0’C‘)
5.z轴上无穷远点的齐次坐标为(
A. (0,1,0)
C. (1,0,0)
1.求使直线x+2y~l = 0上的每个点不变,且把点(1,-1).变成点(-1,2)的仿射变换.
2.求直线2约一工2+3工3 =0关于二阶曲线xl+xl — 2jciXz + x3 一6第工3 =0的极点.
3.若过点A(2,4,6)与8(-2,4,2)的直线与上轴及；y轴的交点分别为C,D,求交比(AB,
CD).
得分评卷人
L如果M是线段AB的中点,O是空间任意一点,则有向量等式O&=y(Q4-|-CB)(如图1).
2.证明：四条直线血+互=0,如3心+他一2皿=0,17厶—jr2=0,^：5xt —女=0 共点，
3.证明：如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点.
试卷代号：1083
中央广播电视大学2009-2010学年度第二学期“开放本科”期末考试(半开卷)
几何基础试题答案及评分标准
(供参考)
2010年7月
一、 填空题(毎小题4分,本题共20分)
1.2
2.任意四边形
3.五
4.(-2,1)
5.交比
二、 单项选择题(毎小题4分,本题共20分)
1. C 2.D 3. C 4.B 5. C
三、 计算题(毎小题1。分，共30分)
L解:设所求的仿射变换为
x/=a+anx+ai2 3, ‘ ：
« , ， 3分
y =b-\-azlj：+aZ2y
在直线工+2了一1 = 0上任取两点(1,0),(-1,1),
则所求的仿射变换把三点(1,0),(—1,1),(1,一1),分别变成点(1,0),(-1,1),(-1,2) 椒这三对点代人仿射变换式得
l=au4-a v .
0=aZi +b
—l=a—an+ai3
Y
1= 6—a21+a22
—I=a4-au —a12
2= 6+azl—a22
,3
b==l
解得
织2 = _2 因此,所求的仿射变换式为
‘£ = 2工+2_>—1
&3 = A31 = 2 ,也3 =&Z =2
于是
伝 a+必+6c=0
~2a + 4b+2c==0
令c=i,则有＜
—a + 2b+l = 0
解之得 a=6= —1,
于是，直线的方程为心+血一互=0,与土轴的交点C为（1,0,1）,与了轴的交点D为（0,
1,1）, 6 分
A,B,C,D四点的交比（AB,CD）为
10分
四、证明楚（毎小题10分，共30分）
L证明 如图1所示.
因为 OB+BM=OM (1)
QA+AM=OM (2)
M是线段的中点,
所以 (1) + (2)式得
OA+o5=2OM
►1・■■・・ A
即 OM+y(OA4-OB),
2.证明 求直线a与方的非齐次形式交点，
a：2 工一3»+1=0
V
6：3x+j»—2 = 0
1 7 1 7
交点为（厅,亏），齐次形式为（亏，亏，1）, 5分
将交点代入直线c,d得
即交点也在直线c以上，
所以a”d四条直线共点. 10分
3.证明 如图所示，若三角形ABC与A’B’C’的对应边BC与B’C’的交点X,AC与A’
C’的交点Y,AB与A’B’的交点Z共线，考虑三角形XBB\YAA\ 5分
由于对应点X与LA与艮A’与B’的连线都交于Z,则由笛沙格定理，三组对应边BX 与AY、B’X与A’Y、AA’与BB’的交点C,C\O共线3P AA\AB\CCT共点.••…•……10分 ,O
第3题图
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