试卷代号：1083 座位号匚口
中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题
2010年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、填空题（毎小题4分,本题共20分）
1.若向量 a={~l,2,x}与片={4,0,2}垂直，则 x = .
2.若（BA,CD）=2,则（AB, CD） = .
3.射影对应把三角形中位线变成
4.在仿射平面上，非退化二次曲线与无穷远直线有一个交点，则此二次曲线是
5.几何公理体系的三个基本问题包括
得 七评卷入 二、选择题（每小题4分,本题共20分）
1.设 a={ 1,0,1} ,3= {1,1,0},则 a 与3 的夹角为（ ）.
A. 7T
2. 相似变换的不变量是（ ）.
A.长度
B.面积
C.角度
D.距离
3. 若二次曲线「的极点为无穷远点，则「在此处与无穷远直线（ ）.
A.不相切
B.有两个不同交点
C.相离
D.相切
4. 极线上的点与极点（ ）.
A.共辗
B.不共巍
C.可能不共辄
D.不可判定
5. 若两个一维基本图形成射影对应，则对应四元素的交比（ ）.
A.相等
B.不等
C.等于1
D.等于一1
得分评卷人 三、计算题（每小题10分，共30分）
1.求过直线2x-y+l =。与x + 2y = 0的交点尸和点Q(l, —1,0)的直线方程.
2,若直线 l\ 的方程分别为 2z — y+l = 0,3z+y — 2 = 0,7N — y = 0,5_r— 1=0,求
3,求二次曲线工2 — 2巧+2尸+4工+2丁+3 = 0的中心.
得分评卷人
四、证明题（每小题10分，共30分）
1.证明：以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形（如图1）.
A
B D
第1题图
2.证明：如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点（如图2）.
第2题图
3.证明:过两直线[1,1,1],[2,1,3]的交点与点2比+3如+佻=0的连线，与直线心一2互+4心
=0平行.
试卷代号:1083
中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2010年1月
一、填空题（每小题4分,本题共20分）
1.
2.
5.相容性 独立性 完备性
二、选择题（每小题4分,本题共20分）
三、计算题（每小题10分，共30分）
1.解:两直线2^—>+1=0与x + 2y = 0的齐次坐标形式分别为+2皿
=0,交点为
W1w3
2 -1 1 —(—O 1 c Zk
XC ,丄，以丿°7T
120
于是，过点（一2,1,5）与点（1,-1,0）的直线方程为
工2±3
-2 1 5 =5X1 + 5工2 +飞3 =0
1-10
即所求直线方程为 5而+5五+“= 0或5^ + 5>+1=0 10分
2.解：Z] ,Z2丄丄与工轴的交点分别为
2 5 3 _ 1
—2（丄+丄）一2
3 ‘ 5 2 ‘
3•解;二次曲线工2—2″ + 2J+4z+2)+3 = 0的齐次坐标形式为
zrf — 2xi x2 + 2 驚 + 4工1 x3 +2x2x3 + 3 勇=0
以上三式相加得
m+7z+Z = a+b + c+万(u+b + c) = O
于是三条中线构成三角形. 10分
2. 证明 如图所示，若三角形ABC与A’B’C’的对应边BC与B’C’的交点X.AC与 A’C’的交点Y,AB与A’B’的交点Z共线，考虑三角形XBB/,YAA,由于对应顶点X与Y、A 与B、A’与B’的连线都交于Z, 5分
由笛沙格定理知，三组对应边BX与AY、B’X与A’y、BB’与AA’的交点C,Cf,O共线， 于是共点，即相交于。点. 10分
3. 证明 直线[1,1,1],[2,1,3]的交点为
心 工2 互
11 1 =(2, — 1,一 1), 4 分
21 3
点(2, —1,-1)与点2wi +3u2 + u3= 0的连线方程为
心 互
2 —1 — 1 =[2,—■4,8] = 0 8 分
2 3 1
即所求连线的坐标为[2,—4,8],
因为[2,—4,8] = 2[1, — 2,4],
所以直线[2,-4,8]与直线円一2皿+ 4及=0平行. 10分
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