试卷代号：1083
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业几何基础试题
2007年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.仿射变换把三角形中位线变成
2.£一少+1 = 0上的无穷远点的齐次坐标为 .
3.点（一1,2, — 1）的非齐次坐标为 .
4.丿轴的齐次线坐标为 .
5.公理法的结构包括 、一
得 分 评卷入 二、选择题（毎小题4分,本题共20分）
3.在欧氏几何内，直径对应的圆周角（）•
A.大于k B.小于n
C.等于久 D.以上都正确
4.设 a={l, — l,O） ,6=（x,3, —1）,若扌丄片，则（ ）•
A. x=2 ‘ B. x= — 2
C.z=3 D. x= — 5
5.若线束S的四直线a,b,c,d被任何一条直线s截于四点A,B,C,D,且（AB,CD）=2,
则（部,dc） = （ ）.
1 *
A. B. 2
C. — 1 D.
得分评卷人
三、计算题（每小题10分，共30分）
1.求使直线”十丿一1 = 0的每个点不变，且把点（1,1）变成点（-M）的仿射变换•
2.求由两个射影线束勾一*3=0，的+*3=0，丫 =括决定的二次曲线的方程.
3.求二次曲线水一4巧+ 2J—2工+4丿+1 = 0过点（1,-1）的直径.
碍..牛_评芭四、证明题（毎小题10分，共30分）
1.用向量方法证明，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半•
2.求证 R（1,1）,R（5,—3）,0（4,—2）,已（7, — 5）成调和共純.
3.相交于点O的两条直线被三条不同直线AA,,BB,,CC,截得三个四边形，如图所 示，证明这三个四边形的对角线交点共线.
第3题图
试卷代号:1083
中央广播电视大学2006-2007学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业几何基础试题答案及评分标准.
(供参考)
2007年7月
一、 填空题(每小题4分,本题共20分)
1.三角形中位线
2.(1,1,0)
3.(1 > ~2)
4.[1,0,0]
5.原始概念的列举 定义的叙述 公理的叙述 定理的叙述和证明
二、 选择题(毎小题4分,本题共20分)
1.B 2. D 3. C 4. C 5.D
三、 计算题(毎小题10分，共30分)
1.解设所求的仿射变换为
x =a+anx+a12>
y=b+a2xx-\-a22y
在直线x+y~l = 0上任取两点(1,0),(0,1),
将三对点代入仿射变换式得
l=au +<212 +a
1=6121 +<222+^
l = au +a
v 5分
0 = <Z2l +3
1=<Z12 +<2
0 = a22+b
(a=3
b= — l 解得J
S =引=_2
.21=022 = 1
因此,所求的仿射变换式为
x ——2x—2了+3
– 10 分
y ~x~\~y—1
2.解将第三式代入第二式并与第一式联立，得
rXi-Ax3=0
« A_2 5 分
工2+沮亍C3=0
消去;I，得所求二次曲线为
工皿+功气+互互―2工；=0・ 10分
3.解二次曲线
an X1 +如2 募 + “33 惑 + 2(312 工1 工2 + 2山3 ^1 工3 + 2也3 二2 孔=0
的直径为
(^11 >1 +a12 yz + 013 yz )^1 +(^21 >1 + 422 切+“23^3)工2=0
点(\一1)的齐次坐标形式为(1, 一 LD,
代入系数和点得
(1 + 2 — 1)的 + ( — 2 — 1 + 2)互=0
整理得2xi—JS2=0
代入直径公式的非齐次形式
(a11x+a12y+a13)+k(a21x+aZ2y+a23)=0
（x—2y—1） + &（ — 2工+2夕+2）=0
于是况=用+疝=万5+（風+赤）
= yc+a + y&=（yc+ya + y^）+-|-a
说明 DE//BC,且 DE=yBC.
2.证明
Pi,R，F3,R齐次坐标分别为円（1,1,1）,3（5, — 3,1）,?3（4,—2,1）,巳（7,—5,1）,
因此B,P2,R，P4共线.
因（Pl F2 , P3 巳）=8 一 X1—X4_—
所以 F|,P2,P3，P,成调和共扼.
3.证明证法一如图所示，设四边形
ABB’A’、BC/B’、ACC’A ‘的对角线交点分
别为 N、M、L,那么 A’ NJB AA’B’CO
AKLC’B 5 分
于是 AfNJB AKLC’B ••…•…7分
这两个点列有公共点B自对应，所以是
两个透视点列，因此A,K,NL,JC，应交于一点，即NL应过AfKJC’的交点M,所以L,M,N
共线. 10分
证法二 A,B,C是直线Z上互异的三点是直线m上互异的三点，……4分 由巴卜斯定理，三个交点
L=BC,XB,C,N= AB,XA,B,M=CA,XC,A 共线. 10 分
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