中央广播电视大学2006-2007学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学专业几何基础试题
2007年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
1.若 a= {1, — 1, — 2} ,b = {2,2x,2）,则 dS_b 的充分必要条件是 x =
2.仿射变换把菱形变成 .
3.夕轴上无穷远点的线坐标方程为 .
4.给定无三线共点的 条直线，可决定唯一一条二级曲线.
5.几何公理体系的三个基本问题包括 、—
1.直线*十2了+1=0上的无穷远点的齐次坐标为（ ）.
A. (1,2,0) B. (1,-2,0)
C. （2,-1,0）
2-射影对应把平行四边形变成（ ）. I). (2,1,0)
A.任意四边形 B,平行四边形
C.菱形 1）.梯形
3.若线束S的四直线a,们c,d被任何一条直线s截于四点A,B,C,D,且（AB,CD） =2
则（ab.dc）=（ ）.
A. B. 2
c- -1 D. J
4.在仿射平面上，非退化二次曲线与无穷远直线有一个交点，则二次曲线是（ ）.
A.椭圆 B.抛物线
C.双曲线 D.圆
5.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，这个命题与欧几里得第五公设（ ）.
A.等价 B.矛盾
C.无关 D.以上都不正确
得分评卷人
三、计算题（每小题10分，共30分）
1.若向量。=｛1,一1,0｝与万=/,0,2｝构成的三角形面积为2,求z值.
2-用齐次坐标的方法，求经过两条直线x-2y+l = 0和x + y = 0的交点与点（一 1,1,0） 的直线方程.
3.求点（1, —1,0）关于二阶曲线的3^-f +5.rz十芸十7幻心+ 4X；, +5^2.r3 =0极线.
得分评卷人
四、证明题（每小题10分，共30分）
1.用向量方法证明：菱形的两条对角线互相垂直.
2.证明：四点 Pi（3, — 1）,0（7,3）,R（6,2）,R（9,5）成调和共絕.
3.证明：如果两个三点形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点.
ma
试卷代号：1083
中央广播电视大学2006-2007学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学专业几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2007年1月
一、填空题（每小题4分，本题共20分）
1.
二、选择题（每小题4分，本题共20分）
三、计算题（每小题10分，共30分）
=扌\/4 + 4 + 工2=2
解得工=土2姪 10分
2.解 两直线x~2y+\ =。与x + y = 0的齐次坐标形式分别为心一 2互+心=0 ,飞】+ ⑦2=0,交点为
制 1 Uz U’i
1 -2 1 =（ — 1,1,3） 5 分
于是，过点（一1,1,3）与点（一 1,1,0）的直线方程为
可 x2 互
—1 1 3 =—3心一3^2=0
-1 1 0
艮卩 一3而一3×2 —0,
或 心+工2=0. 10分
3.解 将点（1,-1,0）的坐标及以”3丿= 1,2,3）的值代入极线方程
十。12狄 +Q13M）Z1 +（々21丁1 +何2 財2 +缶3外）五 十（何1丁1 +々32^2 +＜如丁3）互=。 5 分
7 7 5
即 （3 — 2 + °）工】+（2 — 5 + 0）»2+（2一 万+ 0）尤3=0
整理即得所求极线方程
Xj +3×2 +互=0
10分
四、证明题（每小题10分，共30分）
1.证明 设”0分别表示菱形的两条邻边，则它们的对角线分别为a + b和a—久于是
(a + b) • (a —&)= \a\2~\b\2
又因为菱形的两邻边相等，即尚丨=，小，所以（a + b） • （a —”
a\2~\b\2=Q
即菱形的两条对角线互相垂直.
10分
第1题图
2.证明
Pl，尸2,R，R 的齐次坐标分别为匸（3,— 已（7,3,1）, R（6,2,1）, R （9,5,1）……
2分
3 -1
因为
=0
所以
共线
-1
同理
=0, 共线，故 共线.
（心一）（幻一互） （互 ~~^’2）（工4 —心）
所以 B（3, —1）,巳（7,3）,R（6,2）,R（9,5）成调和共扼.
3.证明如图所示,
若三点形ABC与A’B’C’的对应边BC与B’C’的交点X,AC与A’C’的交点Y,AB与
A’B’的交点Z共线，考虑三点形XBB^YAA”,由于XY与都交于Z, 5分
由笛沙格定理，三组对应边的交点C,C,O共线，于是AA,,AB，,CC,共点. 10分
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