试卷代号：1。83
中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业几何基础试题
2006年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.若向量a={l,~l,—2} 0={ —1,%, —1} ,c={0, —1,3}首尾相连构成三角形，则x=
设二次曲线「与无穷远直线匚相交于两点兀，丁2,那么以交点T1；T2为切点的切线
是二次曲线「的
以斜率一音为方向的直线，其上的无穷远点的线坐标方程为( ).
2
B. U1一-yu2 =0
C. Wi—u2 ==0 D. 2ui—3u2 —0
4.在仿射平面上，非退化二次曲线与无穷远直线有一个交点，则二次曲线是(
A.椭圆 B.抛物线
C.双曲线 D,圆
5.在欧氏几何内，直径对应的圆周角( )•
A.大于7T B.小于7T
C.等于1 D.以上都正确
得分评卷人 三、计算题(每小题10分，共40分)
1.求使三点(0,0),(1,1),(1,-1)的对应点分别为(2,3),(2,5),(3,— 7)的仿射变换式.
2.设 A,B,D 三点的坐标分别为(1,2,1),(3,-2,1),(2,0,1),且(AB,CD) = 2,求点 C 的坐标
3.求直线 2a：!—x2+3×3=0 关于二次曲线 xj+xl-2xix2 + 2x1x3—6x2x3=0 的极点.
4.求二次曲线x2 —2工;y+2;y2 + 4工+2丿+3 = 0的中心.
碍 分 评卷四、证明题(毎小题10分，共30分)
1.用向量方法证明，如果三角形的一条中线垂直于底边，则这个三角形是等腰三角形.
2.求证 P1(-1,-1),P2(3,3),P3(，2,2),P4(5,5)成调和共辗.
3.设OX,OY,OZ为三条定直线,A,B为二定点，其连线过。点,R为OZ上的动点，且直 线RA,RB分别交OX,OY于点P,Q,求证:PQ通过AB上一定点.
试卷代号：1083
中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2006年7月
一、填空题（毎小题3分,本题共15分）
二、选择题（毎小题3分,本题共15分）
三、计算题（毎小题10分，共40分）
— 7 = 6 + (221 —也22
b=3
1
ail= 7
解得J
1
_2
(222 = 6
代入仿射变换式,得所求的仿射变换式
工，=2+身上_号丿
2・解 因为 A = (l,2,1),5=(3,-2,1),则由
.A+.B= (2,0,l) = D
于是人2 = 1.
设 C=A*HiB,已知(AB,CD) = § = 2, 人2
-1
-3
=2 »A23 =Az2 =2
690
于是
所求极点的坐标为（一9,1,2）. 10分
4.解 二次曲线x2 — 2xy+2y2 +ix+2y+3 = 0的齐次坐标形式为
xf — 2xi xz + 2×1 + 4而 x3 + 2×2 x3 + 3xf = 0
于是 厶31= 一5,厶32 =3,厶33=1
所求中心坐标为（-5,3,1） 10分
四、证明题（毎小题10分，共30分）
1.证明 设a0分别表示三角形的两边,
则池=*(a+Z>),页=(a-D),于是彳方• Bt
= y(a+fe) • (a—&) = y(|a|2 — |&|2)
第1题图
又因为及5丄此，所以才方•页=0,因此|a|2-|&|2=0,BP|a| = |b|,
所以三角形ABC是等腰三角形.
10分
2.证明
Pl,P2,P3,Pt 的齐次坐标为 0( — 1, — 1,1),3(3,4,1),?3(2,—2,1),巳(5,5,1),因为
-1 -1
3 3
2 -2
1
1 =0,所以
1
Pi,P2,P3 共线
-1 -1 1
从而R,R，F3，F＜共线. 5分
所以，R（ — 1,-1）,R（3,3）,F3（2,2）,R（5,5）成调和共扼. 10 分
3.证明
第3题图 取OAB所在直线为影消线，经过中心投影之后为无穷远直线，如图所示，则
RiPiPzRaQiQzRzRi为平行四边形. 5分
于是
PiPz 纟 RiR? ,RiRz 纟 QiQz,
所以，P1P2^Q1Qz，
因此,RQi与RQz的象交于无穷远点,所以，RQi与RQz相交于AB ±一定点.
10分
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