试卷代号：1083 座位号匚口
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业几何基础试题
2006年1月
题号 一 二 三 总分
分数
3.点(1,2,3)的非齐次形式坐标为 .
4.中心射影把梯形变成 .
5.若线束S的四直线a,b,c,d被任何一条直线s截于四点A,B,C,D,且(AB,CD) = 2,
则(ab,dc)= .
6.当C在A,B之间时，(ABC)().
A.等于零 B. 小于零
C.大于零 D. 无穷大
•
7.()是相似变换的不变量.
A.长度 B. 面积
C,角度 D. 距离
8.若P是二次曲线「上一点，它的极线是「的( ).
A,切线 B. 直径
C,半径 D. 渐近线
9-不共线的( )对对应点决定唯一一个仿射变换.
A. 2 B. 4
C. 5 D. 3
10.设点列A,B,C,D经过中心投影后变成且(AB,CD) = §，则 (A’B’,C’D’) = ( ).
A. j B. 2
C. -1 D.不一定
得分评卷人
二、计算题(每小题10分，共40分)
1.若向量a= {3,5,4} M= {2,1,0},求以a和力为边的平行四边形面积.
2.若直线I、山丄的方程分别为2工一R+lHOez + j—2 = 0,7a—= 1 = 0,求
3.求通过点 A(l, —1,O),B(2,O,—1),C(O,2, — 1),D(1,4,—2),E(2,3,—2)的二阶曲 线方程.
4.求直线3工1 —丑+6及=0关于二阶曲线jrf +葛一2*［工2 +2^1$3 — 6互丑=。的极点.
得分评卷人
三、证明题(每小题10分，共30分)
1.如果M是线段AB的中点，。是空间任意一点，则有向量等式■□对=扌(宓十屈)成
立.
2.设OX,OY,OZ为三条定直线,A,B为二定点，其连线过点O,点R为OZ上的动点，且
直线RA,RB分别交()X,OY于点P,Q,求证：PQ通过AB上一定点.
3.试用向量方法证明：半圆内的圆周角为直角.
试卷代号：1083
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2006年1月
一、选择填空题（每小题3分,本题共30分）
1. 0
2.中位线
4 ,任意四边形
二、计算题（每小题10分，共30分）
Ci e2
1.解 aXb =
=(_4,8,_7)
S = | a | | 6 | sinV々
= \aXb\ = J( —4)2+渗 + ( — 7)2 = /129
10分
2.解 M 丄 与工轴的交点分别为
十一§,血=音皿=0皿=?
于是
Z> J J , 、_ (刀一心)3 —瓦)
U1Z2,ZJ4) _ (『GJ 二心)
1 1 2
〈° +万”亏一1
(0 -yX-i + y) 2
3 d Z
1()分
3.解 将已知五点的坐标代入二阶曲线方程
+a22^22 +(733无+2山2而互+2<713工1工3 + 2任23五玄3=。
an +“22 —2^12 =0 4 tin +四3 —4(713 =0 4(^22 + ^33 —4^23 =0 4(711 +16^22 +4^33 +5^12 一4«13 —16^23 =0 4々貝 +9〃22 +物33 + 12(212 一8(213 — 12^23 =。
解方程组得
9_ 9
«12 =Q11 9^22 —«11，”13 =3勾1 ‘“23 =习”11，口33 =5^11 ,
所求二阶曲线的方程为
9 9
爲 +爲 + 5瑟 + 2心心 + ~2^i血 + ~2^2无 =0 .
1 -1
-1 1
1 ~3
或 2安+ 2隽+10蓦+ 4而五+9而瓦+9工2工3 =0
，所以 All = — 9, A22 = 一 1, A33 = 0,
Aiz ~ A2i = —3 ,Ai3 — A3i =2, A23 = A32 =2 9
于是
。少 、 -U\ ] r-9 _3 2] 「3 ] 厂12、
ay2 =A* w2 = -3 -1 2 -1 = 4
、220.6
L j 、4 .
即 所求极点的坐标为（一12,4,4）.
三、证明题（每小题10分，共30分）
1「证明如图1所示.
(1)
(2)
V M是线段AB的中点,
6分
图1
詞=_蹄
（1） + （2）式得
OX+OS=2,O^
即
成=$（宓+65）. io 分
2.证明
第2题图
取OAB所在直线为影消线，经过中心投影之后,QAeBe为无穷远直线，如图所示，则
RRRRz’QiQzRR为平行四边形. 5分
于是
Fi R 纟R R?，Ri R2 纟Qi Q2 >
所以，
PlPz 纟Q1。2，
即 四边形RQ1Q2P2为平行四边行，P1Q1〃RQ2，
则 BQ】通过M”，由中心射影保持结合性不变可知，PQ通过AB ± 一定点。 10分
3.证明如图3所示，
设 OA=a ,则 —a,
因 C§ = CO+Q§ 夕壁
c5 = cd+o? 4 分 B A
一 q （） a
故 ①•右=（c5+oS）（cd+oX） g
图3
=（cd-o?）（cO+a?） –
=|cd|2- |O^|2= Tap- |5|2 = 0 8 分
故 茂与&垂直，即VBCA是直角，证毕。 10分
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