试卷代号：1083
中央广播电视大学2004-2005学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业几何基础试题
2005年7月
题号一 二 三 总分
分数
得分评卷人 一、选择填空题（每小题3分,本题共30分）
1. 设a,3是两个非零向量，如果a • b — 0,则（ ）.
A. a丄3 B. a//b
C.反向 D.同向
2.空间向量起点与终点相连，它们构成三角形当且仅当（ ）.
A. a + 3+c = 0 B.
C. a + 3 = c D.
3.相似变换把正方形变成（）.
A.菱形 B.
C.矩形 D.
4.两个不共底的射影对应的点列，其对应点连线的全体是（）.
A. 一条直线 B, 一条二次曲线
C. 一个点 D.两个点
5.若p是二次曲线r上一点，则它的极线是「的（ ）.
A.直径 B.半径
C.切线 D.渐近线
6.在欧氏几何内，直径对应的圆周角（ ）.
A.大于7T B,小于7T
C.等于X D.以上都正确
7.设QAC,BD) = 2,则(AB,CD) = ( ).
A. 0 B. -1
C .1 D. 2
8.( ）与［1,1,0］表示同一直线的线坐标。
A•珍，手 ,0] B. [1, —1,0]
c .L-1,1,0] D. [1,1,1]
9.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，这个命题与欧几里得第五公设（ ）.
A.等价 B.矛盾
C.无关 D.以上都不正确
10.不重合的（ ）对对应元素确定唯一一个对合对应.
A. 3 B. 2
C. 4 D. 1
得分评卷人
二、计算题（每小题10分，共40分）
1.已知A和B的齐次坐标分别为（5,1,1）和（一 1,0,1）,求直线AB上一点C,使（ABC） =-1；若 2C=A+AB,求出 A.
2.求使三点（0,0）,（1,1）,（1, — 1）的对应点分别为（‘2,3）,（2,5）,（3,—7）的仿射变换式.
3.求由两个射影线束
确定的二次曲线的方程.
4.求二次曲线6若一蒐一24秘+ 11工注3= 0在点（1,2,1）处的切线方程.
得 分 评卷人 三、证明题（毎小题10分，共30分）
1.试用向量法证明，以任意三角形的三条中线为边可作一个三角形.
2.证明：相交于影消线上的二直线，其象为二平行线.
3.如果两个三角形对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点（见图）.
中央广播电视大学2004-2005学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2005年7月
一、 单项选择题（每小题3分,本题共30分）
1.A 2. A 3. B 4. B 5. C
6.B 7. B 8. A 9. A 10. B
二、 计算题（毎小题10分，共40分）
1.解 A（z,;y） = （5,l）,B（z,;y） = （ — l,0）, 设C=Gc,少，则畚 =一1,解得工=2,
齢£=一1,解得 3-=y-
即C=（2,y）,C点的齐次坐标为（2,身,1）. 5分
因为。=号厶+ $8,所以A = l. 10分
2.解:仿射变换把点（工以）变成（X,/）时，
(x=a+anj：+a12y
[y=b+a21x+a22y
将每对对应点分别代入仿射变换公式，得
-2 = a
3 = 3
2= a+a1i +钓2
v 5分
5 = 3+(221 +“22
3— a+an—a12
— 7 = b+a2i ~a22
解得
a = 2
b=3
1 引=2
a2i = —4
如=_2
a-zz = 6
于是,所求的仿射变换式为
盘= 2 + AA
10分
>/ = 3 — 4*+6)
3.解两个线束可以写成
rxi—Ax3=0
A-1 _八
X2_A+2X3=O
消去，得所求二次曲线方程为
xI+xiX2+xiX3+2x2X3=0.
10分
4.解 由于 6(1)2 —(2尸一24(1)2 + 11(2)(1)=。,
说明点（1,2,1）在二次曲线上,
因此，所求切线方程为
「6
r^ii
EI 2 1]
-1
11
2
=0
11
~2
一 24
即 12=1+7互—26孔=0
10分
771
三、证明题(毎小题10分,本题共30分)
1.证明如图,
设A5=c,BC=a，宓=3,则 a+b+c=0.
设 A^=m,^^=n,CP=l,
则以m,n,l为边可作成一个三角形当且仅当m + n+l=0.
在△ABD中
m=c+*a
在ZXBCE中
* = a+§3
在Z\CAF中
以上三式相加得
m + &+2=a+3+c+*(a+3+c) =0
于是三条中线构成三角形. 10分
2.证明 因为中心投影把7T上的影消线Z投影到/上的无穷远直线Z‘8； 3分
所以，中心投影把二直线的交点投影为/上无穷远点， 6分
因此，两直线的象交于无穷远点，所以，两直线的象在/上平行. 10分
772
3.证明如图所示，
若三点形ABC与A’B’C’的对应边BC与B’C’的交点X,
厶C与A’C’的交点Y,AB与A’B’的交点Z共线， 5分
考虑三点形XBB’,YAA’,由于XY与AB,A’B’都交于Z,由笛沙格定理，三组对应边的
交点C,C’,O共线，于是AA,,BB,,CC,共线. 10分
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