试卷代号：1083
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业几何基础试题
2004年7月
题号 一 二 三 总分
分数
得 分 评巻人 一、选择填空题（毎小题3分，共30分）
1.若向量 a= {x,y,z} ,5= {u,v,w}，则 4 • B= .
2.若向量a与石平行，则ax#= .
3.在仿射平面上，非退化二次曲线与无穷远直线有一个交点，则该二次曲线是
4.平面中的反射变换保持长度 .
5.射影变换保持共线四点的交比 ■
6.平面内三个向量一定（ ）•
A.线性相关 B.线性无关
C.任一个可由其余两个线性表出 D,以上都不正确
7-相似变换的不变量是（）•
A.长度 B.面积
C.角度 D.距离
8.椭圆在仿射变换下的象是（ ).
A.直线 B.抛物线
C.双曲线 D.椭圆
9.若P是二次曲线「上一点，则它的极线是「的（ ）.
A.切线 B.直线
C.半径 D.渐近线
10.二次曲线 x[ 证明：三角形三条边上的高相交于一点.] [ 证明：共线三点的简比是仿射不变量.] [ 证明：直线 12xi +7×2—26^3=0 与二次曲线 6×5 — xl — 24xf +1 lx2= 0 相切.]-2xy + y-y+2 = 0是（ ）.
A.双曲线 B.抛物线
C.实椭圆 D.虚椭圆
得 分 评卷人 二、计算题（每小题10分，共40分）
1.若向量 a=（3,5,4）,&=（2,1,0},求 a 与3 的夹角.
2.设通过A（-3,2）与B（6,l）两点的直线被直线z + 3丿一6 = 0截于点P,求单比 （ABP）.
3.计算 Pi（3,1）,R（7,5）,R（6,4）,R（9,7）四点的交比（BPz’RR）.
4.求二次曲线爲一2隽+3衣一工/3=0在点（2,府,1）处的切线方程.
得分评巻人
—— 三、证明题（每小题10分，共30分）
试卷代号：1083
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2004年7月
一、选择填空题（毎小题3分，本题共30分）
1. xu + jiu+zw
3.抛物线
5.不变
7. C
9. A
二、计算题（毎小题10分，共40分）
1,解:a • 5=3X2 + 5X1 + 4X0 = 11
| a I =V/37+5y+4r=v/50 = 5 -J2 4 分
$|=7^¥1=庙 6 分
d • 6 = 11 = 11
co 1WT—5 72 -75_57^
于是夹角为0=arccos——. 10分
5 710
2.解过A,B两点的直线方程为
y—2 _ —]
x+3 9
即 工+方一15 = 0 3分
解方程组
Jx+9j»—15 = 0 ［工+3丁一6 = 0
得交点P*，§）， 6分
于是
邑—（一3）
（ABF）=^ = W^= = -1 10 分
BP ~t2 3 。
万―6
4.解：二次曲线可以写成
所以点（2，Jf ,1）在曲线上,故切线方程为
1 0
-2
0
即”I■工 1 —2/^工2+2工3 = 0.
10分
三、证明题（每小题10分，共30分）
1.证明：设三角形ABC中BC,AC边上的高分别为AD和BE,且AD和BE相交于点
G,连接CG并延长交于F.
在三角形AGC中，宓=而一底 （1） 已知AD是三角形ABC中BC边上的 高，因此 a£）• BC=0,
故 A（5 ♦ b5= 0,
第1题图
(1)式两边同乘以就，即有
也.页=京.页一花.夙=一瓦.風 （2） 5分
同理，在三角形BGC中，
岔=或一睨，
cd • cA=b^ – cA-B^ • cA=-Bt • cA （3）
由于在三角形ABC中,A§+bJ+g5=0
于是由（2）式和（3）式得
赤• a5= -cd •（bJ+cA）= 一赤• B^-cd • cA
=A^ • bJ+b^ • cA
=At • bJ-bC • aJ=T
说明说丄糸，从而CF±AB,这说明三角形三条边上的高相交于一点G. 10分
2.证明：由初等几何知识可知，简比在平行射影下不变, 4分
如图所示.
第2题图
因此，经有限次平行射影变换后，简比仍然不变， 8分
所以它是仿射不变量. 10分
3.证明：
只要证明直线的极点在二次曲线上即可。
因为
所以
An=y, A22 = — 144, A33= —6,
于是
列1 停。0
4 12 • 75 ‘
<yyz =A* = 0 —144 —33 7 = 一 150
.0—33—6 ..一26..-75 .
所求极点的坐标为(1,一2, — 1) 8分
由于 6Xl2-(-2)2-24X(-l)2 + llX(-2)X(-l) = 0
说明极点在二次曲线上，因此它的极线12在+7丑一26孔=0是与二次曲线 捋切的.证毕. 10分
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