试卷代号：1083
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业几何基础试题
2004年1月
题号 一 二 三 总分
分数
若非零向量E与石成比例，则下列结论正确的是（ ）.
A. &与S相交
C.廿丄5 B. a//B
D.以上都不对
2.下列关系和量，（ ）在仿射变换下保持不变.
A.垂直关系
C.长度
3.中心射影把梯形变成（
A.梯形
C.任意四边形
4.给定无三线共点的（
A.五条
C.三条
5.仿射变换把菱形变成（
A.正方形
C.平行四边形 B.角度
D.平行关系
）.
B.矩形
D.平行四边形
）直线，可决定唯——条二级曲线.
B.四条
D.不一定
）.
B.菱形
D.不能确定
6.若线束S的四直线a,b,c,d被任何一条直线s截于四点A,B,C,D,且（AB,CD） = 2, 则（展,dc） = （ ）.
A- Y B. 一2
C. — 1 D 1
7.无穷远点关于二次曲线的极线称为二次曲线的( ).
A.半径 B.直径
C.渐近线 D.切线
8.( )与欧几里得第五公设等价.
A.三角形内角和等于二直角 B.
C.三角形内角和大于二直角 D.
9.当C在之间时,(ABC)( ).
A.等于零 B.小于零
C.大于零 D.无穷大
10.设二次曲线「与无穷远直线旗相交于两点t15t2,那么以交点t,,t2为切点的切线 是二次曲线广的( ).
B.直径一
D.渐近线
1.若向量&={ —1, —1,2},石={一2,0,3},计算以挪为边的三角形面积.
2.在A( —2,3)与B(4,l)两点的连线上求一点C(x,y),使得单比(ABC) = -1.
3.试求出下面各点的齐次坐标：
(1)(2,y);
(2)直线3z+j+l = 0上无穷远点.
4.求二次曲线6衣一隽一24瑟+ 11*2^3=0在点(1,2,1)的切线方程.
得分评卷人
1.试证明：以任意三角形的三条中线为边可做一个三角形(如图1).
2.如图2, A ABC的顶点A,B,
C分别在共点的三直线l,m,n±.移动. 证明:AB和BC分别通过定点P与Q时,
CA也通过PQ上的一个定点.
3.若△ABC的三边AB、BC、CA分别通过共线的三点P,Q,R,二顶点B与C各在定直
线上移动，求证顶点A也在一条直线上移动（如图3所示）.
试卷代号：1083
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业几何基础试题答案及评分标准
（供参考）
2004年1月
一、单项选择题（每小题3分,本题共30分）
1. B 2. D 3. C 4. A
6. D 7. B 8. A 9. B
5. C
10. D
二、计算题（每小题10分，共40分）
1.解：
-2 0 3
=（—3, 一 1, —2}
于是
貝 x 硏=y（-3）2+（-i）2+（-2）2 = yi4
S=y |aj I b| sinVa ,b> = § | a X 川=§ VT4
2.解 过两点的直线方程为
6分
10分
解得 了 = 2,
于是 C(z,g = (l,2).
3.解
（1）（2,y）是有穷远点，由于（山，工2,工3）（工3夭0）是有穷远点的齐次坐标.
利用公式襄=*峨=» 取工Li,得所求的齐次坐标为（2,亨,1）.
（2）因为3工+j + l = 0平行于j=-3z, 一组直线y = kx^的无穷远点的齐次坐标为（1, 如0）,于是所求无穷远点的齐次坐标为（1,—3,0）.
4.解由于 6(1)2 一(2)2 —24(1)2 + 11(2)(1)=。,
说明点（1,2,1）在二次曲线上.因此，所求切线方程为
即 12zi+7zz一26工3=°.
三、证明题（每小题10分，共30分）
1.证明：如图1所示，
图1
设 A§=ctBC=a,cA=&»
则 a + b+c=O.
设 55=71,0?=/, 则以血山盘为边可作成一个三 角形当且仅当m + n + l=0.
在△ABD中
m — c+^-a
在△BCE中
n=a + ~^~b
在Z^CAF中
l+gc
以上三式相加得
m + n + l
=a+&+c+-^-(a + &+c) =0 说明三条中线可构成三角形.
2.证明：如图所示，设△ A’B’C’是满足条件的另一个三 角形，在△ABC和左A’B’C’ 中，由于对应点的连线l，m、n 共点O， ……5分
由笛沙格定理可知，对应边 的交点P,Q,R共线，即 AC与A’C’的交点R必在 直线PQ上，于是R为定 点. 10分
5分
在这两个射影线束中，FR是自对应元素,
所以，
P(B,B1,B2,-)AR(C,C1,C2,-), ……7 分
两个透视对应的线束对应直线的交点a,a,a2,- 共线，即顶点A也在一条直线上移动. ……10分
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