试卷代号：1083
中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业几何基础试题
2003年1月
题号 一 三 总分
分数
得 分 评卷人 一、选择填空题（毎小题3分,本题共30分）
1. 设4与片是两个非零向量，若C=o,则（ ）.
a. a与片平行
B.扌与片垂直
C.扌与片线性无关
d. a与片的夹角为K
2.仿射对应下，哪些量不变（）.
A.长度 B.角度
C.单比 D.面积
3.仿射对应是平行射影的充分必要条件为（）.
A.象点与原象点的连线平行
B.象点与原象点的连线交于一点
C.不可判定
D.象点与原象点不平行
4.两个不共心的射影对应的线束，对应直线的交点全体是（）•
A. 一条二次曲线 B. 一条直线
5.方程ui~«!+2u3= 0表示的点为（）.
A. (1,1,2)
6.欧氏几何与非欧几何的本质区别为《
A.平行公设不同
B.结合公理不同
C.绝对公设不同
D.结合公理不同
7.三角形内角和等于180度（ ）.
A.与欧氏平行公设等价
B.与罗氏平行公设等价
C.与椭圆几何平行公设等价
D.不可判定
8.直线上A、B、C、D为互异的四点,C、D在A、B之内，则四点交比（AB,CD）（ ）.
A.小于零
B.大于零
C.等于零
D.无穷大
9.若点P在二次曲线r上,那么它的极线一定是「的（ ）.
A.渐近线
B.直径
C.半径
D.切线
10.极线上的点与极点（）.
A.共瓶
B.不共絕
得 會 评卷人 二、计算题（毎小题10分，共40分）
1.已知向量4={2,3,1},$={1, — 1,0},计算夜了的模长与夹角.
2.计算宜线心+2宓=0上无穷远点的齐次坐标.
3.求点 Pi（3,l）,Pz（7,5）与 PJ6,4）,R（9,7）的交比（PiP^PsR）.
4.求二次曲线6x?―^ — 24a^ +11 x2x3 = 0在（1,2,1）点的切线方程.
得 分『竺人. 三、证明题（毎小题10分，共30分）
1.利用向量方法证明三角形三条高交于一点.
2.证明直线Ax+By+C= 0将两点R 5, »）与R 6, y2）的连线段分成的比是 Az】+的1 +C
Axz+Byz+C’
3.证明点（刀5〉关于二次曲线^—2px的极线为y 力（工+而）.
试卷代号:1083
中央广播电视大学2002-2003学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业几何基础
试题答案及评分标准
（供参考）
2003年1月
一、单项选择题（毎小题3分.本题共30分）
1.B
2.C
3-A
5.D
6. A
7. A
8.B
9. D
10. A
二、计算题（毎小题10分，共40分）
1.解灯,片的模长分别为
\a\ = 722 +32 + 12 = VTi.
!引=”+( 一 1)2+°2=龙,
a •&=2X1 + 3X(-1) + 1XO = -1
4,片的夹角余弦
cosGZ,歲=-C-=-= 一缀
\S\\b\ 71472 28
-1
10分
2.解:取 Xi =1,求出 Jr2 = —-
令x3=0,于是直线X,+2×2=0上的无穷远点的齐次坐标为（1,一亨,。）.
10分
3•解W 二;忙:二:;
(6-3)(9-7) (9-3)(6-7)
10分
4.解：由于 6(1)2-(2)2-24(1)2 + 11(2)(1)=0,说明点(1,2,1)在二次曲线上.
故所求切线方程为
0
11
2
-24
即 12xi +7盛—26xs =0 10 分
三、证明题(毎小题10分,本题共30分)
1.证明 设三角形ABC中BC.AC边上的高分别为AD和BE,且AD和BE相交于点 G,连接CG并延长交AB于F。
在三角形AGC中，宓=花一底 (1)
已知AD是三角形ABC中BC边上的高，因此
a6 • bC=o,
故 aS -b^=o,
(1)式两边同乘以瓦，即有
cS – bC=a5 • BC-aC – bC=-aC • bC (2) 5 分
同理，在三角形BGC中，
岔=夙一成，
• cA=b^ • cA-b^ • cA=bC • cX (3)
由于在三角形ABC中,a5+bS+cA=o
于是由(1) + (2)式得
cS« aS=-c5«(b^+cA)=-c^ – bC-cS • cX
=aC . bC-bC • A^=0
说明CG丄AB,从而CF丄AB,这说明三角形三条边上的高相交于一点G. 10分
2.证明 设A=罷,其中P（x,y）是分点，则
_Xi+Ax2 _yi +Ayt
工 I+T”
将X,y代入直线方程Ax+By+C=Q,解得
Ahi +所1 +C
Ax2+By2+C
3.证明 二次曲线^ = 2px的齐次方程为X¥=20X】X3，
点On ,少）的齐次坐标为（舟5,1），则点Si ,少，1）的极线方程为
6Xz=/＞（Xi+ziX3） 7 分
人 _Xi _Xz
令工=瓦’广封
则点Si）的极线方程为，7=@（云+刀）・ 10分
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