试卷代号：1。79
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
高等代数专题研究 试题（半开卷）
2020年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、单项选择题（本题共2（）分，每小题4分）
1.设/（，）在有理数域Q内不可约，则（ ).
A. fU）在实数域内一定不可约 B. /（M）在复数域内一定可约
C. /（z）在实数域内—•定可约 D.以上说法都不正确
2.若向量组小，…，g与伊，…俱均线性无关，则向量组ct j ,…e-，…俱（ ）
A. 一定线性无关 B. 一定线性相关
C.不一定线性无关 D.以上说法都不对
3.矩阵厶与B相似的充分必要条件是（ ).
A.A与B的特征多项式相等 B.厶与B的行列式相等
C. A与B的秩相等 D.存在可逆矩阵丁，使T ‘AT-B
4.实对称矩阵的特征值都是（）•
A.实数 B.零或纯虚数
C.非零实数 D.模为1的复数
5.线性空间V上的双线性函数/（a,/?）在不同基下的度量矩阵〈 ）.
A.相似 B.相合
C.正交相似 D.相等
項—勿―评萱’ 二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.当＜2=,b= H^,x2 +1 \ x3 -V ax b.
7.全体正实数的集合R」对于下面定义的加法与标量乘法：a@b=ab,k^a=ak构成R 上的线性空间，则R」的零向量为 .
8.线性变换A的属于不同特征值的特征向量一定是 的.
9.第二类正交矩阵的行列式的值等于 .
10.若A为正定实对称矩阵，则A的主对角线上的元素全为 .
得分评卷人 三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.求多项式 /（） = X1 — 5^:3 + lljr2 —16x +12 的有理根.
‘1 2 2、
12.求A= 2 1 2的特征值和特征向量.
2 2 1,
13.已知= = = （1,0,0）是欧氏空间R3的一组基，请用施密特
正交化方法求R3的一组标准正交基.
得分评卷人 四、证明题（本题15分）
14.设都是72阶正定对称矩阵，证明:A + B也是正定对称矩阵.
试卷代号：1O79
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2020年1月
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. D 2. C 3. D 4. A 5. B
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
6.a =1 ,b=0
7.1
8・线性无关
9.-1
10.正
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.解：因为払= lg° = 12,所以方程可能的有理根是士 1, 土 2, 土 3, 土 4, 土 6, ±12.
（3分）
因为 2)t^0,/(±3)^0?/'(士4)尹0/(±6)尹0/(±12)尹0,故士1, —2,
士3,±4,±6,±12 都不是根. (8 分)
而/（2）-0,故2是孑伝）的根. （12分）
用综合除法验证，2是的二重根. （15分）
12.解:A的特征多项式
A-1 -2 一2
一2 A—1 -2
-2 _2 A-1
所以厶的特征值是一1, — 1和5. （7分）
当人=—1时，解齐次线性方程组（一E一厶）X = 0,得基础解系
1 ‘0 ‘
& 0 ，& = 1
-1-1
因此，属于一1的全部特征向量为加&+奴&,虹，蚯是不全为零的全部数对.
1′
当A=5时，解齐次线性方程组（5E—A）X=0,得基础解系&= 1 •
丄
因此，属于5的全部特征向量为饪3以夭0.
13.解：用施密特正交化方法可得
缶=ai =（1,1,0）
（”加） ， 、1 、 /I 1 \
炖=心一7^5 同=（1，0，1）一 万（1，1，。）=（万，一万，1）
_ （as ,伍） （g ,#2）
為（但，6）们-（炫，座）炀
=（1,0,0）-？（1,1,0）-！（§,-扌,1）
=/1 —丄 _1\ \ 3 ‘ 3 ‘ 3）
单位化可得一组标准正交基为
儿=（手，手，。） （11分）
（13 分）
为 =（争一争一争 ⑴分）
四、证明题（本题15分）
14.设厶，3都是儿阶正定对称矩阵，证明：A+B也是正定对称矩阵.
证明- CA+B）T =AT +Br = A + B ,故A + B是对称矩阵. （5分）
对任一 ”维列向量XK0,都有XT（A + B）X = XTAX + XrBX>0,因此,A+B是正定 对称矩阵• （15分）
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