国家开放大学2019年春季学期期末统一考试
高等代数专题研究 试题(半开卷)
2019年7月
题号 二 三 四 总分
分数
1.设多项式/(x),g(^)6PLx］互素，即有(八工),g(z)) = l,则下列结论错误的是().
A.(/'(x),y(x)+g(x))=l B. (g(x) ,f(X)— g(x))=l
C. g(z)) = l D. (f (x)g(x) ,f (.x)’)=l
2.全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法ta®b = ab,k^a=ak构成R
上的线性空间，则R+的零向量为( ).
A. 0
C.2 D. 3
设A是线性空间V的线性变换,是A的分别属于特征值入与六的特征向量，则( ).
A.若a与线性相关，则人尹“ B.若a与线性无关，则M丰卩
C.若X=5则a与/?线性相关 D.若X*则a与0线性无关
设a是”维欧氏空间V上的线性变换,a在基aj,a2,・“，a“下的矩阵为对称矩阵A, ).
A.当ai,az,…，a“为标准正交基时，<7为对称变换
B.a为可逆变换
C.<r为对称变换
D.a为正交变换
设厶是正定矩阵，则下列结论错误的是( ).
A. |A|>0 B. A的主对角线上的元素全为正
C. A的元素全为正 D. A是非退化的
6.多项式 /（j;） = j;4 — 2jc3 +2j；2 — 1 的有理根为 .
7.向量组 ai = （l,2,3）,az =（l,0,0）,a3 =（10,19,30）线性 .
8.如果存在可逆矩阵T,使得T~’AT为 ，则n阶方阵A称为可对角化.
9.若欧几里得空间V上的线性变换A保持向量长度不变，则A是 变换.
10.双线性函数/非退化的充分必要条件是它的度量矩阵M .
14.证明：若A为可逆矩阵，则它的特征值均非零.
试卷代号：1079
国家开放大学2019年春季学期期末统一考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2019年7月
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. D 2. B 3. D 4. A 5. C
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.1
7.无关
8.对角阵
9.正交
10.非退化
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
1L解：把们，位写成列向量组成矩阵厶，对A进行初等行变换，化简成行阶梯形矩阵:
12•解/的特征多项式|AE~A|-A（A~l）（A-2）,故A的特征值为0,1,2.…（5分）
A是实对称矩阵，可对角化.分别求得A的属于每个特征值的特征向量：
当 Ai=0 时，（一A）X = 0 的基础解系为 a? = （l,0,—1）； （7 分）
当 如=1时，（E3—A）X = 0的基础解系为 蓦=（。，1,。）； （9分）
当人3=2时，（2E3—A）X=。的基础解系为 3 = （1,。，1）. （11分）
1 已正交，单位化得
则 T 是正交阵，且 TTAT=T-lAT^diag（0,1,2）. （15 分）
*工1 =）1 +）2
13.解:作非退化线性替换］工2=卩一方造平方项得 （5分）
彳3 =）3
y = 2挤一2*+4）23；3=25—2（无一丁3）2+2乂 （10 分）
芝1 =丁1
令V切=火一，3， （12分）
&3=丁3
则有/’ = 2zf —2姥+2药. ° （15 分）
四、证明题（本题15分）
H.证明：若A为可逆矩阵，则它的特征值均非零.
证明：反证法.设入为A的一个特征值，且A-0,则存在非零向量X,使得
AX=XX=O （5 分）
又A是可逆矩阵，在上式两边左乘A-】可得
A~iAX=A~1 • 0
即 X=0 （10 分）
这与X是非零向量相矛盾.故假设不成立，人乂 0.由此可得，A的特征值均非零.
（15分）
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