试卷代号：1079
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年秋季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究 试题（半开卷）
2019年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1-下列法则是有理数域Q上的代数运算的是（ ）.
Aab=bM +宙 B.a-b = b
C. a ab=^/2 D. a =>/2 a + 36
2-设V,,V2都是线性空间V的真子空间，则下列集合中不是V的子空间的是（ ）.
A.V,UV2 B.
C. V>+V2 D.ViCHO}
3.设*阶方阵A可对角化，则下列结论正确的是（ ）.
A. A有〃个不同的特征值 B. A是可逆矩阵
C. A有〃个线性无关的特征向量 D. A是实对称矩阵
4.设A是*阶实矩阵，则A为正交矩阵的充要条件是（ ）.
A.矩阵A的列向量组是R”的标准正交基
B.AT=A
C.| A | = ± 1
D.A的列向量两两正交
5.设A£M”（R）是n元二次型q的矩阵,A的秩为小，二次型q的秩为L，则七与L
的关系为（ ）.
A. r} <r2 B. rx =r2
C. rx>r2 D. r与J没有必然联系
得分评卷人
二、填空题(本题共20分，每小题4分)
6.复数域上的不可约多项式的次数是 次的.
7.向量组a = (a,0,0),R= (2,a,O),7=(1,3,2)线性相关，则 a = .
8.线性变换A的属于不同特征值的特征向量一定是 的.
9.设是2维欧氏空间V中的一组标准正交基且(a,e,) = 3,(a，a)= — l, 贝!J a = .
10.双线性函数f是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是 矩阵.
得分|评卷人
三、计算题(本题共45分，每小题15分)
11.设 =x4+2×3 — x2 — 4x — 2,g(x)=x4 +x3 —x2—2x —2,求(_/&) ,g&)).
12.在线性空间R’中有两组基：
ai = (1,0,0) ,a2 =(l,l,。)，a3 =(l,l ,1)
们= (1,2,3),炫= (2,3,5),為= (3,5,9)
求基ai ,<Z2 ,03到基/?! fpz ,03的过渡矩阵T.
13.求义取何值时，下面的实二次型是正定的
,x2 ,x3) =xi +4z* +4工；+2Axjx2 —2xiX3 +4ze2x3
得分评卷人
四、证明题(本题15分)
14.证明：若门阶方阵A与B相似，则它们的行列式相等.
试卷代号：1079
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年秋季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2019年1月
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.1
7.0
8.线性无关
9.3e】一e2
10.对称
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.解：辗转相除
q2（工）=工 + 1 g&)
x4+x3-xz-2x-2
—2×2 —2x x4+2×3-x2-4x-2
x^+x3-xl-2x-2 qi&) = l
x2-2×3 — 2x
x3 —2t
0 q3 &)
r] (x) = x3 — 2x (6 分)
r2(x)=x2-2 (10 分)
所以(f(x),g(x)) = x2—2. (15 分)
12.解：为 = — ai —a?+3a3 (4 分)
% = —ai —2az+5a3 (8 分)
国=—2ai —4a2 +9a3
（15 分）
1 X -1]
13.解：二次型的系数阵A =
-12 4
利用A是正定实对称矩阵的充分必要条件是它的各阶顺序主子式都大于零，可得
（10 分）
解得一2VAV1. （15 分）
四、证明题（本题15分）
14.证明：若n阶方阵A与B相似，则它们的行列式相等.
证明：因为A与B相似，故存在可逆矩阵T,使得B=T-】AT. （5分）
从而 |B| = |T-】AT| = |TT||A||T| = |A|. （15 分）
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
评论0