试卷代号：1079
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究 试题（半开卷）
2018年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1.下列法则是有理数域Q上的代数运算的是（ ）•
A.a^b=b^ + 2b2 B. a«b=b
C. a =i/2 D. a °b=-JZa-\~’ib
2. 把复数域C看成实数域R上的线性空间，它的维数是（ ）.
A.0 B. 1
C. 2 D.无法确定
3.设A是线性空间V的线性变换,a,戶是A的分别属于特征值人与兴的特征向量，则（ ）
A.若a与夕线性相关，则
B.若a与/?线性无关，则人尹兴
C.若人=兴，则a与0线性相关
D.若皿,则a与0线性无关
4.实对称矩阵的特征值都是（ ）•
A.实数
B.零或纯虚数
C.非零实数
D.模为1的复数
5.线性空间V上的双线性函数在不同基下的度量矩阵（ ）.
A.相似 B.相合
C.正交相似 D.相等
碍 分 评卷入 二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.当。= 9b— 时,二2 +1 | 二3+球+b.
7.向量组 0,1~（1?2）3）»0!2:=::（1»0»0）»0,3 =（1»1,0）线性 .
8.设矩阵A与B相似，则A与B的行列式值 .
9.第一类正交矩阵的行列式的值等于 •
10. 设A是〃阶实矩阵，当A是 矩阵时,是正定矩阵.
得分评卷人 三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.求多项式/（J：） 一7×2 ~5j: — 1的有理根.
r
0，求一个正交矩阵T,使T~1AT^TtAT 对角矩阵.
1
13.求;｛取何值时，下面的实二次型是正定的
f (j： J ,工2 ,工3)=工7+4隽+4 勇 +2 人二 1二2 — 2_r ］工3 +4二2二3
14.设 AeMn(P)满足 A2=e,Wi = (XEP”|AX = X},W2 = (XEP”|AX=—X},证 ^：Pn==Wl@W2.
试卷代号：1O79
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2018年7月
一’单项选择题（本题共20分，每小题4分）
I.B 2. C 3. D 4. A 5. B
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
6.a—1 6—0
7.无关
8.相等
9.1
10.可逆
三、 计算题（本题共45分，每小题15分）
II.解：S=4,a° = —1,可能的有理根是士1,±?, 士;. ……（3分）
因为 /（±l）#0,/（±^）#0,/（y）#0,故 ±1,±孑,?都不是根. ……（12 分）
而/（-y）=0,故一?是八Z）的根. -••…（15分）
12.解:A的特征多项式|AE-A|=A （A-1XA-2）,故A的特征值为0,1,2. ……（5分） A是实对称矩阵，可对角化.分别求得A的属于每个特征值的特征向量：
当4=0时,（-A）X = 0的基础解系为a? =（1,0, — 1）; ……（7分）
当b = l时，（E—A）X=0的基础解系为履=（0,1,0）； ……（9分）
当A3=2时，（2E—A）X = 0的基础解系为a? =（1,0,1）. ……（11分）
心，们，。3已正交，单位化得
所以 vew1,zew2.
即X=y+Z£W】+W2,所以F”UW]+W2. ……（8分）
显然Wi+WzUF”，因此P”=Wi+W2. ……（10分）
第二步，证明W】+W2是直和.
任取X£W】nW2,则由X£W]知AX = X，由xew2知ax = —x,所以x = —X,故
X = o,即W]DW2 = {0}，因此P=W]①W2・ ……（15分）
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