试卷代号= 1079 座位号匚口
国家开放大学(中央广播电视大学)2017年秋季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究 试题(半开卷)
2018年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.若gG)iyG)，且8愆)/(工)都不是零多项式，那么gG)与yco之间的次数关系是( ).
A. deg(/(x)Xdeg(g(i)) B. deg(f (x))^deg(g(x))
C. deg(g(x))<deg(/(^)) D.以上结论都不对
2.若向量组ai，…，a,与们，…诅均线性无关，则向量组ai，…,a,,们，•••,/?,( ).
A. 一定线性无关 B. 一定线性相关
C.不一定线性无关 D.以上说法都不对
3.如果线性空间V的线性变换A在V的基£1,£2下的作用为：
Ac! =«„£! +ai2£2
Aez = 们任1十a%ez
那么 A在基£j ,e2下的矩阵为( ). <211 a21
a 11<2 12
A. 21 “22 B. 3 12 Cl 22 ,
C. <2 21 a 22 D. “22 <2 12
J3 11<2 12 ,fl 21£Z 11
4.设A是n阶实矩阵，则A为正交矩阵的充要条件是( ).
A.矩阵A的列向量组是R”的标准正交基
C. | A | = +1
设A是”阶实可逆矩阵，则ArA必是(
A. A的主对角线上元素全为零
C. |ATA | =0
色业埜一 二、填空题(本题共20分，每小题4分)
6.有理数域上的不可约多项式的次数是 次的.
7.全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法：a㊉b=ab,h”a=a«构成R 上的线性空间，则R+的零向量为 .
8.设都是”阶方阵.如果存在”阶可逆矩阵T,使T-MT=B，则称A与B.
9.设a是欧氏空间V的对称变换，则a在V的标准正交基下的矩阵是 •
10.双线性函数f非退化的充分必要条件是它的度量矩阵M.
得分评卷人
三、计算题(本题共45分，每小题15分)
11.在线性空间IV中有两组基：
ai = (1,0,0) ,a2 = (1,1 ? 0) ,a3 = (l,l,l)
伊= (1,2,3),炫= (2,3,5),但=(3,5,9)
求基a】，心，心到基们,伉，角的过渡矩阵T.
“3 4′
12.求矩阵A= 的特征值和特征向量.
5 2.
13.已知ai = (1,1,0) ,az = (l,0,l),a3 = (1,0,0)是欧氏空间R3的一组基，请用施密特 正交化方法求IV的一组标准正交基.
得分评卷人
四、证明题(本题15分)
14.如果都是正定对称矩阵，证明:A+B也是正定对称矩阵.
试卷代号：1079
国家开放大学（中央广播电视大学）2017年秋季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2018年1月
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
I.B 2. C 3. B
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
6.任意
7.1
8.相似
9-对称矩阵
10.非退化
三、 计算题（本题共45分，每小题15分）
II.解：/?! = —a] —a2 +3a3
炫=一们_2们+5（Z3
& = —2ai —4a2 +9a3
-1 —1
因此■> （/?i，/?2 7 /?3 ） = （a I , a 2 ,03） —1 —2
.3 5
A ~3
12.解:A的特征多项式|AE-A I =
-5
-2.
4. A 5. D
（4分）
（8分）
……(15 分)
—4
= (A-7)(A+2),故A的特征值为7,
A ~ 2
（5分）
当為=7时，解齐次线性方程组（7E—A）X = 0,得基础解系为（1, 1）丁，故属于特征值7
的全部特征向量为奴1,1）丁以老0）.
(10 分)
当如=一2时，解齐次线性方程组（一2E—A）X=0,得基础解系为（4,一5尸，故属于特征
值一2的全部特征向量为奴4,一5）1■以夭0）. ……（15分）
13.解：用施密特正交化方法可得
pi —ai — （1,1 >0） （3 分）
剧=戏_^^|化=（1，°，1）_!（1，1，0）= （§，_§，1） ……（6 分）
_（CZ3 >/?1 ） _（。3用2）
%=g _ （伊，岛）S _ （历，历）炫
= （1,0,0）-如,1,0） – 1）
单位化可得一组标准正交基为
。修专，。） •••…⑴分）
。修，-刍手） ……⑴分）
仃代，-争-夺） ……⑴分）
四、证明题（本题15分）
14.证明；（A+B）T=AT+BT=A+B,故A+B是对称矩阵. ……（5分）
对任一 ”维列向量X夭0,都有Xr（A+B）X = XTAX + XrBX>0,因此,A+B是正定
对称矩阵. ……（15分）
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