国家开放大学（中央广播电视大学）2017年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题（半开卷）
2017年6月
题号 — 二 三 四 总分
分数
1-设八工）在有理数域Q内不可约，则（
A./（z）在实数域内一定不可约 C. /（z）在实数域内一定可约
2.设都是线性空间V的真子空问，则下列集合不是V的孑空间的有（
b. v,nv2
D. v,n;o}
3-矩阵A与B相似的充分必要条件是（ ）.
A.A与B的特征多项式相等
B.A与B的行列式相等
C.A与B的秩相等
D.存在可逆矩阵T,使T VB
4.设a是〃维欧氏空间V的线性变换,。在基s，g,…,g下的矩阵为正交矩阵A,则
A.a为对称变换
B.当心，心，…，g为标准正交基时『为正交变换
C.当小，心，…，g为标准正交基时m为对称变换
D.。为正交变筷
5.A是正定矩阵，则下列结论错误的是（ ）.
A. M |>0 B. A的主对角线上的元素全为正
C. A的元素全为正 D. A是非退化的
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.方程2/一 £‘+2^-3 = 0的有理根为 .
7.向量组ai = （l,2,3）,Oz = （l,0,0）,Oj = （10,19,30）线性 •
8.设是2维欧氏空间V中的一组标准正交基，a£V,且（a, j） = l,（a,ez） = 2, 则 a = –
9.代数运算本质上是亠种
J0.双线性函数f是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是 矩阵.
得分评卷人 三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.已知们=（1,1,1,1）,% =（1，0,1，— 1），角=（1，一 2,1, — 5）,求巧=1,（咼，体,为）的 一组基与维数.
12,设 R* 的线性变换 o 定义如下:,xi. ） = （2xi —x2 —x-s ,ts+xs ）,求。 在基％ =（1,0,0）,% =（0，1，0）#3 = （0,0,1）下的矩阵.
2′
2的特征值和特征向量.
1.
四、证明题（本题15分）
14.证明：如果 | f（x）,d （z ） |g（H ）,并且存在 u（x） ,p（_r）使
d（H ） = /（•! ）U（X）+g（H）U&）,
则刁（工）是/危）与g（x）的一个最大公因式.
国家开放大学（中央广播电视大学）2017年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供參考）
2017年6月
一、 单项选择题（本题共20分，毎小题4分｝
1. D 2. A 3. D 4. B 5. C
二、 填空题（本题共20分，毎小题4分）
6.1
7.无关
8.e, +2e2
9.映射
10.对称 三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.解：把凶，给，炫写成列向量组成矩阵A,对A进行初等行变换，化简成行阶梯形矩
13.解:A的特征多项式
所以A的特征值是-1,-1和5.
当A = -l时，解齐次线性方程组(一E-A)X = O,得基础解系
，&
因此，属于一1的全部特征向量为如&+妇&，妇，奴为不全为零的全部数对•
(11 分)
当A = 5时，解齐次线性方程组(5E—A)X = O,得基础解系&=|1 .
四、证明题(本题15分)
14.证明；设d(z)=/■(*)“(C + gSgG)，则对任意的* (工)£ P ［工］，如果
/t (z) | /” Ct) ,/i (z) | g 愆)，
则*愆)母M). ……(7分)
又d(H)|_f(z),d(z)|g(z),即d(z)为_f(z)与g(z)的一个公因式，故4(工)是/(工)与 g(z)的一个最大公因式. ……(15分)
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