试卷代号：1。79
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年秋季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究 试题（半开卷）
2017年1月
题号 —. 二 三 四 总分
分数
C.有根一定可约 D.无根未必不可约
2.若向量组ai,…，a,与Bi ‘…均线性无关，则向量组小+们，…，a,+g,（ ）.
A.一定线性无关
B.一定线性相关
C.可能线性相关，也可能线性无关
D.以上说法都不对
3.下列R”的子集中是R”的子空间的为（ ）.
A.((ai,a2,-,a„)|a,eZ,i = l,2,-,n,Z^整数集}
B.( («1 ,a2，…，a”)也1>0}
C.{(ay ,a2 ,an) [ax+an = 0)
D.{ (ai a ,…，a“)I ai+a” = 1}
4.设A是欧氏空间V关于基心，az，…，a”的度量矩阵，心，血，…，是标准正交基的充
分必要条件是（ ）•
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.多项式八*）=打一 2工3+2*2 一1的有理根为 .
7.设A是线性空间V上的一个线性变换，则A在V的不同基下所对应的矩阵 .
8.第二类正交矩阵的行列式的值等于 •
9.n阶方阵厶称为可对角化，如果存在可逆矩阵T,使得T~’AT为 .
10.设A是〃阶实矩阵，当A是 矩阵时,A丁厶是正定矩阵.
?导分评巻人 三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.设 （工）=打+2工 3 —X2 —4 j: — 2,g（rc）=工4+工3—工2_ 2工一2,求（f （:t） ,g（*））.
12.已知SM2M3是3维线性空间的一组基，向量组们，位，位满足
01+03=。1+。2+。3，炫+历=。2+。3，02+63=。1+。3
求由基戶】，02 ,03到基,°2，。3的过渡矩阵•
13.用正交线性替换化实二次型2工£ —2*1工2 —2工屹3+2驀一2毛^3+2z；为标准形. 得一分|评卷人
四、证明题（本题15分）
14.证明：若九阶方阵A与B相似，则它们的行列式相等.
试卷代号：1。79
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年秋季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2017年1月
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. D 2. C 3. C 4. B 5. B
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
6.1
7.相似
8.-1 ,
9-对角阵
10.可逆 三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.解:辗转相除
Q2&）=z + 1 g（Z）
x4 +jr3 一x2 —2jc 一2
jr4 + x3 —2×2 一2x J74 +2j:3 一 JC2 —4j: 一2
x4 +jt3 一x2 一 2jc 一 2 qi（z） = l
卫2—2×3 —2x
x3 —2x q3 （工）=工
0
厂 1 &） —X3 一2x（6 分）
厂2 G）=J72—2（10 分）
所以仃（工） =x2 —2. ……（15分）
337
001001
12* 解：（gi ■位，位）~ （<?1 沌2 »<Z3 ）100，仃i =100
丄_£丄
~2~2T~2~2~2
（5分）
所以鱼，饥，位是一组基•
（10 分）
‘0
故（«1 ,a2 ,a；） = （/?i ,p3 ） —1
1
1 O’
-1 2 ,即基位，炫，&到基ai,a2,a3的过渡矩阵为
0 0
（15 分）
‘2
13.解：二次型的系数矩阵厶=-1
-1
~1 -1
（1分）
A的特征多项式|AE-A|=A（A-3）（A-3）,A的特征值为0,3,3. ……（3分）
解相应的齐次线性方程组,得正交的基础解系为
（8分）
V2
~2
0
工2
V6
6
~2
_也 一芝
0
为正交矩阵，正交线性替换为
V6
T
V6
T,
（13 分）
标准形为3宓+3宓.
四、证明题（本题15分）
14.证明：因为A与B相似，故存在可逆矩阵T,使得B = T^AT. ……（5分）
从而\B\ = \T~iAT\ = {T-~1{ |A| |T| = |A|. ……（15 分）
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