试卷代号：1079 座位号匚口
国家开放大学(中央广播电视大学)2016年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究 试题(半开卷)
2016年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得 分 评卷人 一、单项选择题(本题共20分,每小题4分)
1.下列法则中,可看作整数集Z上的代数运算的是().
A. =a6 B. a°b ~ab
_ b D・ a°b —?r
C. a°b =—
a
2.设/(x)tg(x),A(x) 6 PCx],且(y(“)，g(z))=l,则下列结论错误的是( ).
A. (/(x),/(x)+^a)) =1 B. -gU))=l
C. (/(x)g(x) ,/(x) + g(x)) =1 D. (f(x)h (x) =1
3.全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法:
a © 6 =ab , k°a =ak
构成R上的线性空间，则R+的零向量是( )•
A. 0 B. 1
C.2 D. 3
4.设。是线性空间V的线性变换,a近分别是b属于特征值人与“的特征向量，则下列结 论正确的是()•
A,若a与尸线性相关，则人尹产
B.若a与£线性无关，厕人乂“
C.若;1 乂”，则a与£线性无关
D.若A =“，则a与g线性相关
5. A是正定矩阵，则下列结论错误的是( ).
A.A的特征值全为正 B. A的元素全是正实数
C.A非退化 D. | A | > 0
-~空 评卷大 二、填空题(本题共20分,毎小题4分)
6.实数域上的不可约多项式的次数最多是 次的.
7.向量组 ai =(l,0,0),a2 = (1,2,0) ,a3 =(1,2,3)线性 •
8.若n阶方阵A与B相似，则存在可逆矩阵T,使得B= .
9.若A为正交矩阵，则ATA= .
10.双线性函数f是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是 矩阵•
5~分|评卷人
三、计算题(本题共45分,毎小题15分)
11.求多项式/Xz) =6x* + x3 +4工2 +工一2的所有有理根•
10 0-
12. 求矩阵厶=0 0 0的特征值和特征向量.
0 0 1.
13.已知a】 =(1,1,0),az = (0,1,1) ,a j = (1,0,1)是欧氏空间R，的一组基，请用施密特 正交化方法求IV的一组标准正交基•
14.设 A £ M“(P),且 A? =E，令
吼={X £ P” I (A+E)X=0},Vz ={X E P” I (A-E)X=0)
求证*P* =Vt ©v2.
试卷代号：1079
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2016年7月
一、单项选择题（本题共20分,毎小题4分）
二、填空题（本题共20分,毎小题4分）
13,解：3i = (ljl>0) (2 分)
位 f 一 (請器阳=(。，1，1)— §(l，l，O)= ( —(5 分)
_ (a 3^1) (a 3^2)
為=心_印顷1)母_(#2，险)海
= (1,0,1)—£(1,1,0)-§( 一 ：,“) = (§,—§,§) (9 分)
宀言:|=（争夺。） (11 分)
一位」V6 V6 V6\ ‘丨妇1 T’百’3丿 （13 分）
. % （焰 V3焰、
旳一丨阳丨」百’一百’钥 （15 分）
、证明jg（本题15分）
14.证明：第一步，证明P” =Vi +V2.
1 1
任取 X e P”，则 x =一万(A-E)X +万(A + E)X. (3 分)
因为(A+E) (- j-(A 一 E)X)= -f(A2 — E)X =0,所以-y(A-E)X e
又因为(A – E) (1(A + E)X)= y(A2 —E)X=0,所以：(A + E)X £
1 1
故 X = -；(A — E)X + e(A + E)X e Vi +V2,从而 P” UK+Vz. (8 分) £» £
显然 K+VzUP”，因此 P”=V! +v2. (10 分)
第二步，证明V】+v2是直和.
任取 X £ Vi n Vz,则由 X e Vi 知(A+E)x=o,由 X e Vz 知(A-E)X=0,所以 X = ：((A + E)X —(A-E)X)=0,即 Vi ri Vj ={0},因此 P»=V, ©Vj. (15 分)
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
评论0