试卷代号：1079
座位号匚口
国家开放大学（中央广播电视大学）2015年秋季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究 试题（半开卷）
2016年1月
1.
一、单项选择题（本题共20分，毎小题4分）
下列法则中，不能看作有理数域Q上的代数运算的是（ ）.
A. a°b — ab
B. a°b = ab
2.
3.
4.
5.
C. a°b = b2
D. a°b~2a-]~3b
用工一1除E+z+i,所得商式为（ ）.
A・《z+2
B. x 一 1
C. 3
D. 0
设Vx,V2都是线性空间V的子空间，则下列集合不是V的子空间的是（ ）•
A. V1+V2
C. ViUVz
设aj,…，a“是71维线性空间V的一组基,a是V的一个线性变换，则）,…m（a”）
A.线性无关
C.线性相关
实对称矩阵的特征值都是（ ）■
A.非零实数
C.实数
B.
D.
B.
D.
也是V的一组基
不一定线性无关
模为1的复数
零或纯虚数
亶纟 评卷人 二、填空题(本题共20分，每小题4分)
6.复数域上的不可约多项式的次数是 次的.
7.若向量组 a=(l,0,a) ,B= (0,2,a),7=(3,6,a)线性相关，则 a = –
8.设A是一个儿阶方阵，如果存在非零〃维列向量X及数’使得 ，则称数人是 方阵A的一个特征值,X称为厶的属于特征值;I的特征向量.
9.设cm是二维欧氏空间V的一组标准正交基,a£V,且(a,ei) = 3,(a”2)= —2,则a
10.线性空间V上的双线性函数f(a,p)在不同基下的度量矩阵必
得分评卷人 三、计算题(本题共45分，每小题15分)
11.设 /(X)=xi — 5×2 — 3z + 6,g(rr)=z3 —jcz +2j; — 2,求(/(x) ,g(x)).
12.在线性空间IT中有两组基：
ai = (1,0,0), az = (l，l,0),a3 = (l ,1,1)
们= (1,2,3),历= (2,3,5), & = (3,5,9)
求基叫皿,a3到基A，位，位的过渡矩阵T.
13.求人取何值时，实二次型/(J71 ,X2 ) =J：1 +x| +5j；3十2入工1工2 — 4工1工3 +2工2工3是正
定的.
得分评卷人
四、证明题(本题15分)
14.设；l|,；U是线性变换a的两个不同的特征值，们，以分别是G的属于特征值；1”确的特 征向量，证明皿+皿不是a的特征向量.
试卷代号：1079
国家开放大学（中央广播电视大学）2015年秋季学期”开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2016年1月
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. B 2. A 3. C 4. D 5. C
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
6. 1
7.0
8.AX=AX
9.3^i —2e2
10.相合（合同）
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.解:用辗转相除法，可得
/（j：） = G + 2）g（js） — 5j:2 — + 10 （4分）
g（） = （ — x + 纟）（一 5j:2 — 5j7 + 10） + — 6 （8分）
—bx2 一 5z + 10 = （ — x ） （6z – 6） （12 分）
因此，（_/（工），g&））=工一1. （15 分）
12.解:——ai — az +3<x3 （4 分）
炫=—tri 一 2°2 + 5</3 （8 分）
但=—2aj 一 4^2 + 9°3 （12 分）
-1 -1 -2-1 -1 一2
因此，（01 ,02 ,03）=（。1，。3） —1 _ 2 -4 ，即过渡矩阵r = -1 -2 一4
359359 ,
（15 分）
13.解：由题设可得,A =
，工3）是正定的，则A的顺序主子式必须全大于零，即
_2）
D] = 1 > 0,D2 = 1 — A2 > 0,D3 =
=_5盲一心＞0
（10 分）
-2
解得一 y <A < °-
（15 分）
四、证明题（本题15分）
14.证明：若们+az是°的特征向量，则们+皿必是。的属于某个特征值為的特征向量,
即 +。2）=入0+。2）=入+人0。2，
（3分）
另一方面+愆）~aa\ +。愆=Aia）+ 人2。2.
（6分）
于是 Ao«i +Ao«2 —Aiai +A2a2，即（人o —芸）tn + （Ao ~A2）a2 =。，
因为人i尹久2,所以ai g线性无关，于是Ao—Ai =O,Ao—A2=0.
（12 分）
因此A1 =侖=入2，矛盾，所以G] +a2不是a的特征向量•
（15 分）
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