试卷代号：1079
国家开放大学(中央广播电视大学)2015年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究 试题(半开卷)
2015年7月
题号一 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
6.代数运算本质上是一种 .
7.方程2x[ 线性空间V上的双线性函数在不同基下的度量矩阵必( ).
A.相似 B.相合
C.相等 D.正交相似]+x2+x-l =。的有理根是 ・
8.设sgg是线性空间R3的一组基,则从基mmg到基。23，。3的过渡矩阵T=
9.设如吻是二维欧氏空间V的一组标准正交基，。€卩，且（a，幻）=1,（。，吻）=一3,则a
10.设A,B都是”阶方阵.如果存在〃阶可逆矩阵丁，使得T~[三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.求/（x）=x6 -1在实数域上的标准分解式.
12.设R’的线性变换b定义如下,x2 ,x3） =（X! +x2 > 2xi —x3,3×3） »求cr在基a】
（l,0,0）,a2 = （l,l,0）,a3 =（1,1,1）下的矩阵.
1
1，求一个正交矩阵丁,使得TtAT = T~1AT是一个对角矩阵.] [
14.如果A,B都是正定实对称矩阵，证明：A + B也是正定实对称矩阵.]AT=Bf则称A与B
国家开放大学（中央广播电视大学）2015年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2015年7月
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. D 2. C 3. B 4. A 5.C
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
6.映射
0 1 0
8.1 0 0
0 0 1
9.€\ — 3«2
10.相似 三、计算题(本题共45分，每小题15分)
11.解法一 ：/(工)=了6 — 1
= (x3 + l)(x3-l) (5 分)
=(rr + l)(x2 — x + l)(x — l)(x2 + j: + 1) (15 分)
解法二口6 —1的单位根为百=cos萼+ isin警/=0,1,2,3,4,5. (5分)
在复数域上，了6 — 1 =(X — Xo)(x — X1)(X — x2)(x — x3)(x — x4)(x — x5) (8 分)
在实数域上 »X6 — 1 =(X — Xo)(x — x3)((x — X1)(X — x5))((x — x2)(x — ))
=(x — l)(x 4- 1) (x2 — 2cos 华二 + 1) (x2 — 2cos 气工 + 1)
= (x-l)(x + l)(x2 – x + l)(x2+x + l) (15 分)
12.解：根据题意可得
b(ai) = (1,2,0)=—釦 + 2^2 (4 分)
b(<Z2)=(2,2,0) =2a2 (8 分)
a(a3)=(2,1,3) =ai — 2a2 4~ 3a3
-1
于是有 <7(ai iCt2 1U3 ) = (。1，。2，。3) 2
0
r-1 0 1
2 2 -2
.003
11
少= -1 »^2 = 0
0-1.
用施密特正交化方法把7），中正交化再单位化，得
当A =3时，求齐次线性方程组（3E —A）X = O的一个基础解系，单位化得
匝
T
a/3
T
匝
3
四、证明题（本题15分）
14.证明：因为A,B都是实对称矩阵，所以（A + B）T=A『 + BT=A + B,故A + B也是实 对称矩阵. （5分）
对于任意X尹0,有XT（AH-B）X = XTAX4-XTBX >0,故A + B是正定的•（15分）
一、单项选择题(本题共20分，每小题4分)
1. 设 /(x),g(x),A(x)eP[x],且(/Xz),gGr)) = l,(y&),方&)) = 1,则下列结论错误
的是( ).
A.(/(x) ♦ /(x) + g(x)) = 1 B. (A(x) ,/(x) —h(工))= 1
C. (/(x) ,g(x)/i(x)) = l D. (g(x) ,A(x)) = l
2. 若向量组a\ ,(X2 ,03线性无关，向量组01，位 ,03也线性无关，则向量组Q] + B1 »«2 +/?2 9
二3+03( )•
A. 一定线性无关 B. 一定线性相关
C.不一定线性无关 D.以上说法都不对
4. 设A是〃阶实矩阵，则A是正交矩阵的充分必要条件是( ).
A.A的列向量组是R”的一组标准正交基
B.|A|=±1
C.A的列向量组两两正交
D.A~* l 2 3 4 5=A
5. 设a是线性空间V的线性变换,a用分别是b属于特征值人与糸的特征向量，则下列结
论正确的是( ).
A.若a与g线性相关，则 f B.若;则a与夕线性相关
C.若入尹〃，则a与夕线性无关 D.若a与。线性无关，则皿
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