试卷代号:1079 座位号匚匚]
国家开放大学(中央广播电视大学)2014年秋季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究 试题(半开卷)
2015年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.下列法则中，不能看作有理数域Q上的代数运算的是( )•
A. a°b—a^b B. a°b~a3
C. a°b = ba D. a°b — 2a — b
2-若g(z) I /(x)，且g(z) ,f(z)都不是零多项式，那么g(z)与fCr)之间的次数关系是 ( )
A. degg(x) >deg/(x) B. degg (jr) <deg/(x)
C. degg(x)^deg/(x) D.以上结论都不对
3.若向量组ai ,°2 ,。3线性无关，向量组&，岛，岛也线性无关，则向量组ai ,°2 ,皿，& ,
，03( ) . –
A. 一定线性无关 B.不一定线性无关
C. 一定线性相关 D.以上说法都不对
4.若线性空间V的线性变换A在卩的基&為 下的作用为：
Aei =oe 1 + be 2
Ae2 =c£] + de 2
那么A在基昌為下的矩阵为( )•
acab~
A. b d B. c d_
~ba~bd~
C. d c D. a c
5.设b是〃维欧氏空间V的线性变换2在基ai,a2，-,a„下的矩阵为对称矩阵A,则 ( ).
A.a为对称变换
B.a为可逆变换
Cm为正交变换
D.当ai,a2,-,a„为标准正交基时『为对称变换
得分评卷人
二、填空题(本题共20分，每小题4分)
6.方程3工3 —2_7?+2工+1=。的有理根是 •
7.若两个有限维的线性空间同构,则它们的维数 •
8.设A是一个71阶方阵，如果存在非零71维列向量X及数;I,使得 ，则称数入是 方阵A的一个特征值,X称为A的属于特征值;I的特征向量.
9-第一类正交矩阵的行列式的值等于 .
10.线性空间v上的双线性函数/■非退化的充分必要条件是它的度量矩阵 .
得分评卷人 三、计算题(本题共45分，每小题15分)
11.设叫=(1,2,1,0)业2= (—1,1,1,1)工3 = (0,3,2,1),求 W = L(ai,a2,a3)的一组基
14.设 f（x） ,gCz） （工），若（f （工）»g（x） ）=1, （/（^）,方（工））=1,证明: 颁（工）话（工）方愆））=1.
试卷代号：1079
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年秋季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2015年1月
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
I.C 2. C 3. B 4. A
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
如3 ‘
7.相同
8.AXfX
9.1
10.非退化（可逆）
三、 计算题（本题共45分，每小题15分）
1-1 0~
213
II.解：把写成列向量，组成矩阵厶=
1 1 2
0 1 1_
对矩阵A作初等行变换，化简成行阶梯形矩阵：
dimW = 2.
12,解：因为A与B相似，所以A与B的特征值完全相同.
由B是对角阵可知，B的特征值是0,1,2.
（5分）
根据已知可得A的特征多项式为|AE—A|=0 —1） （A2-2A-a2）.
-2
13.解：由题设可得,A
—2
要使fS 宀，a）是正定的，则A的顺序主子式必须全大于零，即
Di = 1〉0,L）2 =4 ■— A2 >。，L）3
-2
（10 分）
解得一y <A < 1.
（15 分）
四、证明题（本题15分）
14.证明：由最大公因式的存在表示定理可知，存在U;（X）,P1 G）2 （亿）次2（工）€ P眞］,
使得
C^c）f （工）+ 巧（z）g Cz） =1
（4分）
w2 （x）/（工）+日2 （x）/i （x） — 1
（8分）
上式左右两边分别相乘，可得
（ZZ］（X）U2 +z/i （工）如（z）£（z）+z/2（z）勿（z）g（z））/（x）+wi（x）p2（z）g（z）£&）
（12 分）
故（/（z） ,gCz）£ （工））=1.
（15 分）
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