试卷代号：1079
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究 试题（半开卷）
2014年7月
题号 二 三 四 总分
分数
5.设A6Mn（R）是w元二次型g的矩阵,A的秩为门，二次型q的秩为匸，则口与力的关 系为（ ）.
B. rj =rz
D. n与J没有必然联系
6.数学归纳法所依据的重要原理是 .
7.设/（x） ,gS） € PM,g（x）^0,则写（工）|六工）的充分必要条件是g&）除心的余式 为 .
8.全体正实数的集合R+对于下面定义的加法与标量乘法心由》=沥，如a = J构成R上 的线性空间，则R+的零向量为 .
9.设A是&阶实矩阵，当A是 矩阵时,ATA是正定矩阵.
10.双线性函数/■是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是 矩阵.
得分评卷人
三、计算题（本题共45分,每小题15分）
11.用综合除法计算/■（工）=2工4一7工3 — 6工2+7刀+1被gS）=*+l除的商式和余式.
12.设向量组叫=（1,一1,1,0）如2 = （ — 2,1,0,2）,皿=（一1,0,1,3）,皿=（1,1，0,4）, 求L（ai ,皿，如，四）的基和维数.
，求一个正交矩阵T,使T~iAT=TrAT为对角矩阵.
14.证明:若n阶方阵A与B相似，则它们的行列式相等.
试卷代号门079
国家开放大学（中央广播电视大学）2014年春季学期“开放本科”期末考试
高等代数专题研究试题答案及评分标准（半开巻）
（供参考）
2014年7月
一、单项选择题（本题共20分，毎小题4分）
二、填空题（本题共20分，毎小题4分）
6.最小数原理
7.0
8.1
9.可逆
10.对称 三、计算题（本题共45分，毎小题15分）
11.解:用综合除法列表如下
13.解/的特征多项式|AE-A|-A（A-l）（A-2）,故A的特征值为0,1,2.
A是实对称矩阵，可对角化.分别求得A的属于每个特征值的特征向量
当人】=0时，（一A）X=0的基础解系为冻=（1,0, — 1）； 7分
当為=1时,（e3-a）x=o的基础解系为£=（0,1,0）； 9分
当人3 = 2时，（2E3—A）X = 0的基础解系为*= （1,0,1）. 1】分
叫，如，已正交，单位化得
洲=（£’°’专）保=（°丄舟（会’°’冒）・
¥ °盐
令 T= 0 1 0 , 13分
~i 0 i.
则丁是正交阵，且 TTAT = T-1AT=(iiag(0!l,2). 15分
四、证明题（本题15分）
14.证明：因为A与B相似，故存在可逆矩阵丁，使得B = T~lAT. 5分
从而 IBI=IT-MTHIT-‘I |A| \T\ = \A\. 15 分
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