试卷代号：1079 座位号匚口
中央广播电视大学2013-2014学年度第一学期“开放本科”期末考试(半开卷)
高等代数专题研究试题
2014年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得 分 评卷人 一、单项选择题(本题共20分，每小题4分)
1. 有理数域Q上的代数运算是( )•
A.“迎=笊&+2^2 B. ”b=b
C. a°b—^/2 D. a°6=A/2^a + 36
2.设 /(x) ,g(z) C_P[z].若 /(x) |g(z) ,g(x) |/(x),则 /Xz)与 g(x)的关系是( ).
A./(x)—cg(j;) ,cGp,且 c^O
B./(j;) =7i(jr)g(jr),方(工)G ,degA(x)>0
C.deg/Xx) Vdegg(z)
D.deg/(x)>degg(x)
3. 设尸(工)攻(工)=(六g：?(工))，则f (工)与9(工)的关系是( ).
A. degg(^)<deg/(x) B. /(^)与qG)有相同的不可约因式
C. deg/Xz) VdegqG) D. /(j;) | q(x)
4.若ai ,az ,a,与0，们，…，&均线性无关，则ai +但皿+%，…，a,+/3,( ).
A. 一定线性无关 B. 一定线性相关
C.向量组a, +&皿+岛，”•,％+/?的秩为t D.以上说法都不对
5. 设A为”阶方阵，则A可对角化的充分必要条件是( ).
A. A有n个不同特征值 B. A有〃个不同特征向量
C. A有“个线性无关的特征向量 D. |A|U0
得 分 评卷入 二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.工2+1是有理数域上的可约多项式吗？ （填”是”或“否”）
7.两个维数相同的线性空间一定是 .
8.设矩阵A与B相似，则A与B的行列式值 .
9.设A是“阶实对称矩阵，则A有“个 特征值.
10.设厶,B是正定矩阵，则A+B为 .
碍 空 直豎■ 三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.已知叫，皿，心是三维线性空间V的一组基，向量组凡，但满足
Pl +角=Ql +。2 +。3，但 +。2 =。2 +々3 ,02 +但 ~Q1 +々3・ 求由基们，代，国到基的过渡矩阵.
2 2′
12的特征值和特征向量.
21
13.化二次型 /(xi ,x2 ,x3) =x? +2xf +4药 + 2工］工2 +6x2x3 +2xix3 为标准形.
14.设/(x) ,g(z)是数域P上的一元多项式，且(/&) ,g&)) = l,证明:
(/(x),/(x)+gU))=l.
试卷代号门079
中央广播电视大学2013-2014学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2014年1月
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
6.否
7.同构
8.相等
9.实
10.正定矩阵
三、 计算题（本题共45分，每小题15分）
001001
1L 解：（们 ™（。1 ,皿 M3 ) 1 0 0 ，丨丁1 = 1 0 0 尹。9所以，伉9p3是
111111
【222222
一组基. 7分
001
因为（凡，岛，尸3）=（。1 >02 7。3） 1 0 0 10分
111
〔222
，010、，010′
故（CZ1 >02 ,。3）=（岡，伉，角） -1 -1 2 ，即过渡矩阵为 -1 -1 2
、100、100.
15分
12.解:A的特征多项式
所以A的特征值是一 1和5.
当A=-l时，解齐次线性方程组(一E—A)X=O,得基础解系
因此属于一1的全部特征向量为知&+奶&旭 而 为P中不全为零的全部数对.
11分
当a = 5时，解齐次线性方程组(5E—A)X=0,得基础解系& =
因此属于5的全部特征向量为姑3,龙EP,龙尹 15分
13 •解:用配方法
/(X1 ,x2 >x3) =(X1 +x2+x3y + (x2 +2×3)z — X3 10 分
>l=Xi+x2+x3
令x2+2×3 , 12 分
加=工3
得 /(^1 口2 口3)=”+话一乂. 15 分
四、证明题(本题15分)
14.证明：因为(須&),g(z)) = l,则有的(工)网&)使得
1 = /(X)U1 (x)+g(x)vi (x) 5 分
= /(X)Ui (x) + (/(□：) +g(x))vi (x) —/(X)V1 (x)
= /(X)(W! (x)—Vi (x)) + (/(x)+g(x))V] (x) 10 分
故(/(x),/(x)+g(x)) = l. 15 分
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