试卷代号：1079 座位号□□
中央广播电视大学2012-2013学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题
2013年7月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1. 设A是线性空间V的线性变换,a,f是A的分别属于特征值；I与兴的特征向量，则（ ）.
A.若a与戶线性相关，则人
C.若义=卜,则a与夕线性相关
2.矩阵A与B相似的充分必要条件是（
A. A与B的特征多项式相等
C.凡与8的秩相等
3.设V是”维线性空间，则V上的线性变换全体组成的线性空间的维数为（
n n（n+l）
C. n2 D.无穷大
4.若ai ,az，…,a,与pi 均线性无关，则向量組at ,az,a,，咼,&,”♦,&（ ）.
A.一定线性无关 B.不一定线性无关
C. 一定线性相关 D.以上说法都不对
5.设。是n维欧氏空间V上的线性变换，。在基心，皿，…，a.下的矩阵为对称矩阵A, 则（ ）.
A.o为对称变换
B.。为可逆变换
C.当ai .a2.-.a.为标准正交基时,。为对称变换
D.。为正交变换
得分评卷人
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.从基牛，牛，牛到基中、中，牛的过渡矩阵为 .
7.第一类正交矩阵的行列式的值等于 .
8.设纣，玲是2维欧氏空间V中的一组标准正交基,«eV,且（a,eQ = l,（a,eQ=2, 则 a = .
9.有理数域上的不可约多项式的次数是 次的.
10.®+i+l是实数域上的可约多项式吗？ （填”是”或“否”）
得分评卷人
三、计算题（本题共45分，毎小题15分）
11.在实数域上分解因式f（±） = F+2工2 + 25.
12.设R*的线性变换。定义如下2（工1 ,i2，了3）=（2与~xi ,x2—x3 ,ii +工3）,求。关于ai = （l,0,0）,a2 = （1,1,0）, 43 = （1,1,1）的矩阵.
13.将三元二次型/=2x1x2+2x1x3-2t2x3化为标准形.
得分评卷人
四、证明题（本题15分）
14.设 AeM„(P)满足 A2=E,Wi = {X£P”|AX=X},W2 = {X£P”|AX=-X}. 证明 iP” = W1@W2.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2012-2013学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2013年7月
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. D 2.D 3.C 4. B 5.C
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
0 0 r
6. 0 1 0
.1 0 0.
7.1
8.ci +2e?
9.任意
10.否
三、 计算题（本题共45分，每小题15分）
11.解=x4 +2xz +25=J：4 + 10JT2 +25-8jf2 7 分
=（工2+5）2—8/ = （/ —2皿z+5）（工2+2*h+5） 15 分
12.解：a（ei）= 2€1，。（队）=一巳+豎+以，。（心）=一仁+心・ 5分
故。关于基£】= （1,0,0）,豎=（。，1，0）0 =（0,0,1）的矩阵为
10分
故。关于基 5 = （1*0,0）,az =（1,1,0）,%=/, 1,1）的矩阵
‘201
B=T_, AT=o0—2
•ID 7T
012
hi +yi
13.解：作非退化线性替换造平方项{工2=少一队， 5分
产3=方
/=2yf —2奖+4、必=2″—2 （力一北）？+2j4 10分
勺=y\,
令〈象=、2—了3， 12分
之3=外
则 f=2z\~2zl + 2zl. 15分
四、证明题（本题15分）
14.证明：第一步，证明P”=W|+Wz.
任取 X6P”，则 x=y+z,y=-42AX,z=x~Ax.
因为 AV=A ^^ = AXJX=y,
彩=人弓孩q潔冬恃一z.
所以 y&w^zewz. 5分
即 x=y+Z€w,+Wz,所以 p-£w,+w2.
显然 Wi+WzWF,因此 P’ = W|+Wz. 10分
第二步，证明Wi+Wz是直和.
任取XSWiClWz，则由X€W,知人X = X，由X£Wz知AX= — X,所以X=-X,故X
=0,即WEWz = {0},因此尸=叩成％. 15分
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