试卷代号：1079 座位号匚口
中央广播电视大学2012-2013学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题
2013年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
得-空 评挈••- 一、单项选择题（本题共20分,每小题4分）
L关于一元多项式，下列结论正确的是（ ）.
A.•可约一定有根 B.不可约一定无根
C.有根一定可约 D“无根未必不可约
2.设Vi ,V2都是线性空间V的真子空间，则下列集合不一定是V的子空间的有（ ）.
A.V1UV2 B.VfVz
C.Vi+吼 D.vmto}
3. 把复数域C看成实数域R上的线性空间，它的维数是（）.
A. 0 B. 1
C. 2 D.无法确定
4. 设是正定实对称矩阵，则（ ）.
A.AB,A+B 一定都是正定实对称矩阵
B.AB是正定实对称矩阵,A + B不是正定实对称矩阵
C.A+B是正定实对称矩阵,不一定是正定实对称矩阵
D.AB必不是正定实对称矩阵,A+B必是正定实对称矩阵
5.设厶是欧氏空间V关于基心，如，…，a”的度量矩阵,小,a2，…，払是标准正交基的充分
必要条件是（ ）.
A.允是正交矩阵 B.厶是单位矩阵
C. A是对称阵 D.A是矩阵
色二、填空题(本題共20分，每小题4分)
6.实数域上的不可约多项式的次数是 次的.
7.向量组皿=(1,2,3),皿=(1,0,0),化=(1,1,0)线性 .
8.多项式/(x)=x4-2×3+2×2-l的有理根为 .
9.第二类正交矩阵的行列式的值等于 .
10.设a是欧氏空间V的对称变换，则。在V的标准正交基下的矩阵 是 •
得分评卷人
三、计算题(本题共45分，毎小题15分)
1L 设 /'(工)=工’+3*3 — x2 —4x—3 ,^(rr) = 3×3 + 10×2 +2x—3,求(工),g(x)).
12.已知 ^ = (1,1,1,1),/32 = (1,0,1,-1),^3 = (1.3,0,-4),求 W = L(同，禺，禺)的基与 维数.
13.用正交线性替换化实二次型2x? — 2^1 x2 — 2j：!x3 + 2x| ―2x2x3 + 2x|为标准形.
1%设S为”维欧氏空间V的非平凡子空闾，VaeV,a = O1 +a2 (叫£ S,az £ S丄)，给定
<p(.a) =ai,证明：中是线性变换.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2012-2013学年度第一学期“开放本科步期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2013年1月
一、单项选择题（本题共20分,毎小题4分）
1. D 2. A 3. C 4.C 5.B
二、填空题（本题共20分,每小题4分）
6.1或 2
7.无关
8.1
9. 一 1
1。.对称矩阵
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
1L解,用辗转相除法
, 5_ z 25 10 尸11%丿 9工 9工 3
r2 (x) =9x+27 *
因此(/U) ,g(x) ) =x+3.
12.解:把岗，岛他 写成列向量组成矩阵A,对A进行初等行变换，化成简化的行阶梯形
111 ‘111 ‘
10301一2
矩阵/= 1 1 0 __> 0 0 1
.1一1—4000 ,
13 ,解着二次型的系数矩阵A =
A的特征多项式|AE-A|=A(A-3) (A~3) ,A的特征值为0,3,3. 3分
解相应的齐次线性方程组，得正交的基础解系为
恒
T 也 项’ T
T
晅
T 隼牛= _也
__2 ，來= T
730顼
T..3 .
T. V3~ V2~
f “，， ， “ •
3 2 6
为正交矩阵，正交线性替换为
73
T
_a/2
__2
yi
_匝
T
标准形为3展+3了，
四、证明题（本题15分）
14.证明書对任意的@冶6们@=小+队，厅=佃+& 丄），
中S+戶）H中伝1+&+曲+岛）=凶+位H甲伝）+卩（戶）r
甲（如）=狄岫 +kaz）=瞄=&M），故平为线性变换’
•■•••••,13 分
*……15分
• • • ■*•••• ^
………9分
•’ ■,, •••15 分
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