试卷代号：1079 座位号匚口
中央广播电视大学2011-2012学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题
2012年7月
一、单项选择题（本题共20分，每小题1分）
1. 下列命题正确的是（ ）.
A.如果a是广（Q的m重根，则a是/（工）的zn + 1重根
B.如果。是/（工）的m+1重根，则a是f’（x）的m重根
C.如果。是/&）的m重根，则a是广（工）的m重根
D.如果（/（x）,/（x））是m次多项式，则/（£）有m重根
2.A是正定矩阵，则下列结论错误的是（ ）.
A.|A|>0 B. A是非退化的
C.人的元素全为正 D. A的主对角线上的元素全为正
3.下列R”的子集中是R”的子空间的为（ ）.
A.| a, £ Z,i= 1,2,…Z 为整数集}
B.（（a, ,a2 ,■••,«„） |aj>0}
C.{（a（ ,ai，— ,a.） |at+a„=0}
D.{ （ai ,a2 ,••• ,a„） |ai +a„ = 1}
4. 设人是”阶实矩阵，则A为正交矩阵的充要条件是（ ）.
A.矩阵厶的列向量组是R”的标准正交基
B.
B.|A| = ±1
C.A的列向量两两正交
5.线性空间V上的双线性函数/(Q.p)在不同基下的度量矩阵( ).
A.必相似 B.必相合
C.必正交相似 D.必相等
得分评卷人
二’填空题(本题共20分，每小题4分)
6.代数运算本质上是一种 .
7.复数域上的不可约多项式的次数是 次的.
8.向量组 a=(a,0.1),p=(0,a,2)./=(10,3.a)线性相关，则 a = ,
9.同一絞性空间V的两个基所含向量的个数 .
10.双线性函数/是对称的充分必要条件是它的度量矩阵是 矩阵.
得分评卷人
三、计算题(本题共45分，每小题15分)
11.求多项式-7×2-5x-l的有理根.
3 4)
12. 求矩阵/\= 的特征值和特征向量.
5 2,
13.求4取何值时.下面的实二次型是正定的
J( j. | .-> ；，-r3) =x? +4药+ 4药 4-2Axix2 ~ 2xix3 +4×2
得分评巻人
四、证明题(本题15分)
! 1.设W -U-.是数域P上的线性空间V的子空间，且V=W@Wz.对任意有唯一 分解a~ai +% g € W, ,O2 6 W‘2.定义V的一个变换°(a)=az，证明:<7是V的一个线性变换.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2011-2012学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2012年7月
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
I.B 2.C 3.C 4. A 5. B
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
6.映射
7.1
8.0,±4
9.相等
10,对称
三、 计算题（本题共45分，每小题15分）
II. 解皿=4,@ = 一1,可能的有理根是士 1,士土，士扌. 3分
因为 /（±l）^0./（±y）^0./（ |）^0,故土 1, 土扌，｝都不是根. 8 分
而/（-y）=0,故一*•是/（工）的根， 12分
用综合除法验证.一*是/’（工）的二重根. 15分
A-3 —4
12.解：A的特征多项式AE-Ai = =（A-7）（A + 2）,故A的特征值为
-5 A-2
7,—2； 5 分
当A.-7时，解齐次线性方程组（7E一人）X = 0.得基础解系为（1,1尸，属于特征值7的全
部特征向量为左“」）7■以*0）; 10分
当A2 = -2时，解齐次线性方程组（一2E-A）X = 0,得基础解系为（4,一5尸，属于特征值
一2的全部特征向量为k （4.一5）丁以尹0）. 15分
1 A -1
13 .解：二次型的系数阵人=A 4 2 5分
-1 2 4
利用A是正定实对称矩阵的充分必要条件是它的各阶顺序主子式都大于零，可得
1 A -1
11 A
=4一官>0. A 4 2 =一4尸一4人+ 8>0・ 10 分
A 1
-12 4
解得一2<A<1. 15 分
四、证明题(本题15分)
14.证明：对于 o = 仇 +& £ V,ai，们 £ W| ，&C W? P 有
。(°+卜)=a2 +& =a(a) +g ; 7 分
(j(ka)=ka2=ka(a). 15 分
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