试卷代号：1079 座位号~~|
中央广播电视大学2011-2012学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题
2012年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
1.设A是线性空间V的线性变换,a,戶是A的分别属于特征值;I与兴的特征向量，则（ ）.
A.若a与。线性相关，则;1乂兴
B.若a与。线性无关，则;1乂兴
C.若皿、则a与。线性相关
D.若X”则a与。线性无关
4.设A是n阶实可逆矩阵，则7TA必是（ ）.
A.正定矩阵
B.E
C.| ATA |=0
D.A的主对角线上元素全为零
5.设。是n维欧氏空间V的线性变换e在基皿,&,…,a“下的矩阵为正交矩阵4则（ ）.
A.。为对称变换
B.当皿，俄，…，a“为标准正交基时，。为对称变换
C.当ai,az,…，a“为标准正交基时，。为正交变换
D.。为正交变换
得分评卷人
二、填空题（本题共20分，每小题4分）
6.在三维线性空间中，从基型，伞巧3到基即，中，华的过渡矩阵丁= .
7.第二类正交矩阵的行列式的值等于 .
8.设勺怛是2维欧氏空间V中的一组标准正交基，a£V,则（a, c ） = 1, （a, e? ） = 2 ,则
9.实数域上的不可约多项式的次数最多是 次的.
10.当A,B都是有限集时,AXB的元素个数是 .
碍 分 评卷人 三、计算题(本题共45分，每小题15分)
11.在实数域上分解因式/(x)=x6+27.
12.设 R3 的线性变换 <7 定义如下:tf(xi ,X2 ,X3 ) =(2xj —X2，X2 —X3 ,Xz +x3 ),求。在基 £1 = (1,0,0) ,e2 = (0,1,0),e3 =(0,0,1)下的矩阵.
13.用配方法将四元二次型 f—2xixz +2xtx3 —2xixi—2xix-i +2x1xi+2xzxi 化为标 准形.
得分评卷人
四、证明题(本题15分)
14.设AEMJP）是赛等矩阵（即A2=A）,
Wi = {X£P”|AX=O},Wz = {X£P”|AX=X} 证明：P-^W^Wz.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2011-2012学年度第一学期”开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2012年1月
一、 单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1. D 2. C 3. B 4. A 5. C
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
0 0 1、
6.1 0 0
0 1 0,
7.-1
8.幻+2切
9.2
10.|A| – |B| 三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.解:在实数域上的分解式为
二6+27=（二2）3+33 =（工2+3）（二4一3二2+9） （7 分）
=（J：2 + 3）（J：2—3二+3）+3二+3） * （15 分）
12,解：况］=（2,0,0）=2ei ,
ere2 = （ —1,1,1） = —ex +e2 +e ,
灰3 =（0，一1，1）=—亳+国， （9 分）
因此。在基 £1 = （1,0,0）,£2 =（0,1,0） = （0,0,1）下的矩阵为
‘2 —1 0、
0 1 -1 （15 分）
0 1 1,
3D4
f — 2>2 +4>2>3 ~4>2>4 +2>3>4 （5 分）
— 2^>2~2>2（3,3~>4）+（>3—>4）2^|+2（>3 ->4）2+2>3>4
= 2^1—2（^2 —丁3 +）4 ）2 +2 乂 +2yl — 2必皿
= 2#—2（力負3+丁4）2+233_专了4）2+言邳 （11 分）
四、证明题（本题15分）
14.证明：（1）设aEP\则奁=（奁一必）+必・而
A（a~Aa）=Aa—A2a=Aa~Aa = O
所以 （3 分）
又有 A（Aa）=A2a=Aa,所以 AaEW2.故奁=（奁一&z）+&z£M+吼 （6 分）
从而 Pn=Wi+W2. （8 分）
（2）设oEWEWz,因为则有Aa = O.又由有必=奁，于是奁=0,
即 W】nW2 = {0}・ （13 分）
因此P”=W］㊉W?. （15分）
560
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
评论0