试卷代号：1O79
中央广播电视大学2010-2011学年度第二学期“开放本科”期末隽试（半开卷）
高等代数专题研究试题
2011年7月
题号 —■ 三 四 ‘总分
分数
得分评卷人 、单项选择题（本题共20分,毎小题4分）
得刽 |L设（1）的渔；・“,％,（11）岡,爲，”””是”维欧氏空间的两个基，且（鬲，爲，…，黑） =（的,a?,）A,则（ ）*
a.若（I）是标准正交基，则（H）是标准正交基
■ . . ■
b.若a是正交阵，且（H）是标准正交基，则（I）是标准正交基
C.若A是正交阵，则（H）是标准正交基
D.（I）是标准正交基的充分必要条件是（H）是标准正交基
得刽 |2.设A是欧氏空间V关于基七，改，…，％的度量矩阵,的,°2,…，％是标准正交基 的充分必要条件是（ ）.
A.A是正交矩阵 B. A是单位矩阵
C. A是对称矩阵 D. A是正定矩阵
■ . ■ –
得分 3.若叩乾,…皿与禺,…，携均线性无关，则向量组％,發，…g”们博，…，息（ ）.
A. 一定线性无关 B.不一定线性无关
C. 一定线性相关 D.以上说法都不对
得刽 14.设A是”维线性空间V的线性变换,A在基的皿，…，％下的矩阵为A,A可对
角化的充分必要条件是（）.,
A. A有门个不同的特征值
RA有〃个特征向量
C.存在”阶可逆矩阵丁，使T-‘AT为对角矩阵
D.矩阵A有此个不同的特征值
得分| |5.下列命题正确的是（）-
A.如果a是/z（x）的m重根，则a是/’（□:）的m+1重根
B.如果。是八工）的m + 1重根，则a是/（x）的m重根
C.如果a是/’S）的7W重根，则Q也是r 的m重根
D.如果（/（x）,/a＞）是m次多项式，则有m重根
得分评卷人
二、填空题（本题共20分,毎小题4分）
得分 6.当（1 = ,b= 时,j:2 + 1 \x3 +ax+6.
得刽 17.花阶方阵A称为可对角化，如果存在可逆矩阵T,使T^AT为 .
話| 8.向量组 a=（“，0,l）,p=（0,a,2）,7=（10,3,a）线性相关，则 a =
得刽 |9・设多项式fS）,g（工）不全为0,d（Q =（r（z）,g（_r））,则（舞，彩|）=
得分| 110.设A,B是同阶正定矩阵，则A+B为 矩阵.
得分评卷人
三、计算题(本题共45分,每小题15分)
得分| J1L已知ai=(l,l,0),a2=(b0J),a3 = (l,0,0)<R3的一组基,用格拉姆-施密特正 交化方法把它们化为R3的一组标准正交基.
詡 112.问A取何值时’，实二次型24 +蒐+3秘+2X^X2 +2xlx3是正定的.
得期 |13.用正交线性替换化下列实二次型为标准形2*—2刀上2—2互女+2展一20皿+ 2xf.
■■ – ■-
得分I评卷人
四、证明题(本题15分)
得分 M.证明：如果 d(.x) | f(工).,d(z) |gS),并且存在 u(x), v(x)使 d(Q =/(x)u(x)
+g(QMr),则d&)是与的一个最大公因式.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2010-2011学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2011年7月
一、 单项选择题（本题共20分,毎小题4分）
I.B 2. B 3. B 4.C 5. B
二、 填空题（本题共20分，每小题4分）
6・ q = 10=O
7.对角阵
8.0,4,-4
9.1
10.正定
三、 计算题（本题共45分，毎小题15分）
II.解:用格拉姆-施密特正交化方法可得
（3分）
（6分）
单位化可得一组标准正交基为
万=（導，夸，0） （1［分）
为=（平，一平，季） （13分）
法=（尊，一尊，一尊） （15分）
2 a r
12.解:题给二次型的系数矩阵,A= A 1 0 , （3分）
1 0 3
其各阶顺序主子式为 巩=2>0,£）2=2-人2>0,£）3=5—3尸>0,
即42<|,亦即
（2 —1 一1
13.解：二次型系数矩阵A= -12 -1
一1 .2
A的特征多项式|AE-A|=A（A-3）（A-3）,A的特征值为0,3,3. （3分）
解相应的齐次线性方程组，得A的单位正交的特征向量为
丁=均一尊 應为正交矩阵，正交线性替换峪
3 Z b
标准形为3法+3羽. <15分）
四：证明题（本题15分）
14.证明:设 dCr）=y（H）”G9+gS）gr）,则对任意的 fc（x）eP[x],如果 h（x）|六工）,
方Gr）lg（r）,贝4*（工）|dGc）. （7 分）
又as）为ys）与g&）的一个公因式，故d&）是y（工）与飲工）的一个最大公因式.
（15 分）
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