试卷代号：1079
中央广播电视大学2010-2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题
2011年1月
题号 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、单项选择题（本题共20分，每小题4分）
1.设有理系数多项式…机〈工）,其中，仑（工）是互不相同的次数大于1
的首一的不可约有理系数多项式，则r（z）在复数域内（ ）■
A.无重根
B.或许有重根
C.无实根
D.有s个不等实根
2.设V,,V2都是线性空间V的子空间，则下列集合不是V的子空间的有（ ）•
A.、+V2
b.v1av2
C. ViUVz
D. “{0}
3.如果线性空间V的线性变换A在V的基下的作用为:
Aei =an£i +<ii2e2
Ae2 =“电曲 +a2iez
那么A在基勺淄下的矩阵为（ ）•
A. ‘引 ^12 B. ^ii ^21
皿1皿2^22 .
C. ‘％ D. ^12
4.设。是〃维欧氏空间V的线性变换,。在基叫,下的矩阵为对称矩阵人则（ ）.
A.b为对称变换
B.。为可逆变换
C.当ai,a»…，a”为标准正交基时,。为对称变换
D.。为正交变换
5.实对称矩阵的特征值都是（ ）■
A.实数 B.零或纯虚数
C.非零实数 D.模为1的复数
6-复数域上的不可约多项式的次数是 次的.
7.向量组a1=（l,2,3）,a2 = （l,0,0）,a3 = （10,19,30）线性 .
8.A与的特征多项式必 .
9.第一类正交矩阵的行列式的值等于 .
10.设。是欧氏空间V的正交变换，则。在V的标准正交基下的矩阵是
11-设 f (工)=jc，+2史—■x2 — —2, g(工)=x* +S—x2 一2x—2,求(/(x) ,g(x)).
12.已知 ai = (l,2,l,—2),缶=(2,3,1,0),0：3 = (1,2,2’—3),求 W=L(ai ,a2,%)的基与 维数.
得分评卷人
四、证明题（本题15分）
14.设A,B都是在阶正定矩阵，证明tA + B也是正定矩阵.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2010-2011学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2011年1月
、单项选择题（本题共20分,每小题4分）
二、填空题（本题共20分•毎小题4分）
6.
9.
10.正交的（正交矩阵）
三、计算题（本题共45分，每小题15分）
11.解:辗转相除
1
qi （尤）
q、(工)=■ ] • • * (3 )
(x) + 1 (6 分)
(9分)
L乂(f(工)?g()) a’2 — 2 (]5 )
12.解：通过直接验证可知 «i，役 $务线性无关， （5 分）
,a2 ,a3 是 W 的基， （1。分）
因此 dimW = 3气 （15 分）
13.解/的特征多项式|AE-A|-AG+1）（A~5）,可求得A的特征值为爲=一1办2=。，
人3 = 5 &
‘0、 ，r ■ 6’
1 ^2 ：-2 ,k3 13
-1. 、1, JI,
解相应的齐次线性方程组SE—A）X = O”=1,2,3得基础解系为
■ 0、 • r ‘6
1 -2 t 13
—L 、L ,11.
故A的属于特征值一1,0,5的全部特征向量分别为妇
都不为零.- 四、证明题（本题15分）
14.证明：由于正定矩阵的对称性，有（A + B）T-AT + Br-A + B,故A + B是对称矩 阵* （5分）
对任一筮维列向量X” 都有XT（A + B）X=XTAX-bXTBX>0,即A + B为正定对称 矩阵. .…… （15 分）
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