试卷代号：1079 座位号匚口
中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题
2010年1月
题号 __. 二 三 四 总分
分数
1.设集合 A={a,b,c,d,e}.则 |P(A)|=( ).
A.32
D. 5
2.设z以£R,|z|V 1且3IV1是0 V功V1成立的（ ）.
充分必要条件
3.R={a + b43\a,bez}中元素2+垢的逆元素是（ ）.
4.设一个代数体系（R, + ,X）,下列条件中，不是环的定义必须满足的条件为（ ）.
A.W a,b£R,a+b=b+a
B.在R中存在一个零兀素们使得Va£R,有a+0=O+a=a
C.在R运算X对+满足分配律
D.V a,bE RiaXb—bXa
5.筛法原理也叫做（ ）.
A.递推公式
B.抽屉原理
C.容斥原理
D.扰乱排列
得分评卷人 二、填空题（毎小题3分,本题共15分）
6.设A是一个非空集合，由积集合AXA到A的映射称为集合A上的一个
7.设函数/■（*）在区间（a,6）上有定义，如果qi +g2 = l,且对心，心£ （a,3）都有
，则称函数_/&）在（a0）上是下凸函数.
8.若整系数多项式f^=a„X” + -+a1X+a.的首项系数a,, = 1,则的有理根只能 是 数.
9.^-1 = 0在剩余类环Z”中的所有根为 .
10.某餐厅有10种菜，为了招待朋友一个顾客需要买12个菜，共有 种 买法？（写出表达式即可）
得分评卷人
三、计算题（每小题15分，本题共60分）
11.已知M={1,2,3,4},设M上的置换°和r分别为
‘1234”1234’
(7 =r==
2431.432
计算OT和T0.
12.设x,y,z是正实数，且xyz= 1Q,求2xJr?>y-^^z的极小值.
13.求 f^=x3-x2-x+ 1 的重因式.
14.（a+3+c + d+e）5展开合并同类项后共有多少项，并指出项a2be2的系数.
得分评卷人 四、证明题（本题10分）
15.证明：任意给岀的12个正整数中，必有两个数的差能被11整除.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2009-2010学年度第一学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2010年1月
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. A 2. D 3. B 4. D 5. C
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.代数运算
7.fCqiXr
8.整
9.1,5,7
10.Cio+12-l 三、计算题（每小题15分，本题共60分）
11.解：因为r把1置换成4,°把4置换成1,故m把1置换成1,类似地,t把2,3,4分别
置换成3,2,l,a又把3,2,1分别置换成3,4,2,于是得到
1 2 3 41 fl 2 3 4] fl 2 3 4
2 431O43 2 J |1 3 4 2,（7分）
1234′
同理 ,ra= 、3 1 2 4, （15 分）
12.解：因为h,r,£〉0,所以
2z+?+陰奁,2*.3, • 4z =学站荻=亨屛饥 （5分）
令2工=3丁=命=妇则亢=奇以=§,2 =亭代入z咨=10,得：
专X§X§ = 10,所以以240=>^ = 2%/30 ,
当 j: = v/30″ = >^ = -^^30 时，2jt+3;y + 4z 达到极小值 6 学拓\ （15 分）
13.解：显然只要求出八士）与fGr）的公因式即可.
广&） = 3宀2尤一1
这时 3/<J：）=/，（J：）（J：—y） + （ —yj： + y） （5 分）
可令 r（x） =X~1
y\x） = （x— 1）（3h+1）
所以士一1是与fs 的最大公因式,工一1是r（z）的2重因式. （15分）
14.解:从5个元素可重复取5个元素，方法数为
所以Aa + b+c + d+e）5展开合并同类项后共有126项，
&的系数为2! 1!源0! 0!=3。・ （15分） 四、证明题（本题10分）
15.证明：设任何一个正整数除以11的余数为妇则为£{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},
（4分） 现在有12个正整数，分别除以11,根据抽屉原理，则肯定有两个数的余数相同，因此余数 相同的两个数的差必能被11整除. （1。分）
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