试卷代号：1079 座位号 E
中央广播电视大学2008-2009学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题
2009年7月
题号 __. 二 三 四 总分
分数
得分评卷人
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1.设集合A={a,3,c},B={2,3,9},则厶到B的满射有( ).
A.8个 B. 9个
C. 6个 D. 7个
2.下述结论成立的是（ ）.
A.如果对环R中任意两个元素a,们都有aXb=bXa成立，则环R是交换环
B.任何一个自然数都有前元
C.如果曲线y = f（x）每一点的切线都在曲线的下方,则函数丿=六*）是下凸函数
D.将7Z个球随机装入7Z个盒子中，则至少有一个盒子有两个球
3.在整环中，两个元素a,3相伴的充要条件为（ ）.
B.a = bu(u是可逆的)
D. |a| = |6|
4.下列各组不等式中，哪组的两个不等式是同解不等式？（ ）
得分评卷人
二、填空题（毎小题3分,本题共15分）
6.设厶是一个非空集合，则由积集合AXA到厶的 称为集合上的一 个代数运算.
7.分配3个学生到4个不同单位实习，不同的分配方式有 .
fl 2 3 4 5′
8-将置换 写成不相交的轮换的乘积为 .
2 4 5 1 3>
9.剩余类环Z8中的真零因子有 个,分别为 . .
10.多项式（x+ji+z+m+v）6展开合并同类项后J：3 ZUV的系数是 .
得分评卷人
三、计算题（毎小题15分,本题共60分）
11.设集合A={al,a2,a3},B={b1,b2},试写出厶到B的所有不同映射，并指出为单射、 满射和双射各有几个？
12.解不等式|z+2| — |2z+3|>3.
13.在 中分解多项式 y（x） = 3×4—x3—3j:2 +x.
14.4个人进行篮球的传球训练，要求每个人接球后马上传给别人.开始时由甲开始发球， 并作为第一次传球，求第五次传球后，球又回到甲手中的传球方法的种数.
得分评卷人
四、证明题（本题10分）
15.证明组合恒等式:a + C^=C^\.
中央广播电视大学2008-2009学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2009年7月
一、 单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
1. C 2. A 3. B 4. D 5. C
二、 填空题（毎小题3分,本题共15分）
6.映射
7.43
8.（124）（35）
9.3 2,4,6
10. 120
三、 计算题（毎小题15分,本题共60分）
11.解:所有映射为
ffi:⑶一►缶 gfbnJfb、;02 : A1-皿 一*■缶，“3—S ；
^3:—►缶 ^a2—^b2 辺3一*■缶； C gib、gfbz ; （6分）
as:fli-gfbz，四―缶;ff6 :^l-gfbi3—*■力2 ；
a?:“i-*■缶2~*力2 ; ：^1 一*■力2，“2一*■力2 ； （12 分）
没有单射和双射，有6个满射. （15 分）
12.解:用讨论法求解:令工+2 = 0,得工=一2；2z+3 = 0,得工=—|.
x= —2,x=—-将实数分成三个部分：（一8,—2］,（—2,—亨］,（—言,+8］. （3 分）
（1） 当工£（ —8,—2］时，原不等式化为一（工+ 2） — （2工+ 3）］>3,
整理得：x+l>3,所以,x>2,此时无解. （7分）
（2） x6（ — 2,—*］时，原不等式化为（x + 2） —［―（2x+3）］>3,
9
整理得：3x+5>3,所以，z>—号,此时还无解. .(11分)
(3)x6 (—万，+8],原不等式化为(工+2) — (2z+3)>3,
整理得：-x-l>3,所以，工V-4,此时依然无解.
综上所述可知，该不等式无解. (15分)
13.解:先提取公因式 /(x)=x(3×3~x2-3x+l), (3 分)
再考察 3×3 —x2 —3x+1.
因为a” = 3,a° = l,3®-z2-3z+1的所有有理根只可能为士 1，士§. (7分)
经验证知y,l,-l是3史一工2_3z+1的有理根.
所以 3x3_x2—3x+l = 3(x+l)(x—-y)(X— 1) (13 分)
所以 f(z)在 Z(z)中分解式为 /(x)=x(x+l)(3x-l)(x-l) (15 分)
14.解:设第n次传球后，球回到甲手中的传球方法种数为可以这样想，在前n-1次
传球中，如果每次传球都任选其他三人中的一人进行传球，即每次都有三种可能，由乘法原理， 共有种传球方法. (3分)
在这么多的传球方法并不都是符合条件的。可以将它们分为两类:一类是第«-1次传球 恰好传到甲手中，有种传法，它们是不符合要求的，因为这样第n次无法再把球传给甲；另 外一类是第”一1次传球球不在甲手中，第n次持球人再将球传给甲，有种传法.
根据加法原理有a“_】+a” = 3”T (9分)
即 a„ = 3″_1—
显然由于甲是第一次发球者，所以，小=0,
利用递推关系a”=3i—ai，得
a2 =32_1 —ai = 3 — 0 = 3,
% = 3心 一“2 * —3 = 6,
S=34T-4=27 — 6 = 21,
四=3″‘ —a4 =81 — 21 = 60.
所以，第五次传球后，球又回到甲手中的传球方法的种数为60.
四、证明题（本题10分）
15.证明:左边X + G+J/f+g+b如宀川
一招丄n\
r!(n—r) !'(r+1) ! (n —r—1) !
n!/ 1 + 1 \
r!(n-r-1)!U-r r+1)
r! n!
(n—r~ 1) ! (r+l) + (n-r)
(n-r)(r+l)
r! n\ (n-r-D! xz ^+1
(n~r)(r+l)
(n+l)n!
[(r+l)r!]C(n-r)(n-r-l)n
3+1)!(6分)
0+1)! Cn~r) !
右油=L+i = 3+1)! = (”+1)!
七辺 ”+1 (r+1)! [(n+l)-(r+l)j! (r+1)! (n-r)!
所以，左边=右边.恒等式成立. (10分)
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