试卷代号：1079
中央广播电视大学2007-2008学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题
2008年7月
题号 一 二 三 .四 五 总分
分数
得分评卷人
-、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
嗣—1.下列命题不正确的是（ ）•
得分 A.空集不是有限集合 B.有限集合不能与它的真子集等价
C.每一个无限集合都能与其真子集等价 D.能与真子集等价的集合都是无限集合 2.设集合A={a,6,c},B={l,2},则A到B的满射的个数是（ ）.
A. 8 B. 3
C. 6 D. 9
得分 3.模为15的剩余类环Z”中可逆元素的个数是（ ）•
A.2 B.4
C. 6 D. 8
得分 4.用3个A,4个B,2个C组成的全排列的个数是（ ）.
a （3 + 2）! r （3 + 4）!
% 3! 4! 2! 3! 4! 2!
r （3 + 4 + 2）! n （2十4）!
C， 3! 4! 2! 3! 4! 2!
画二|5.多项式（幻+幻+…+以）”展开合并同类项后的项数为爲+3t=CJ=36,则该多 项试的表达式为〈 ）.
B. （*] +工2 +…+飞？ ）3
堕–纟一兰卷△- 二、填空题(每小题3分,本题共15分)
得刽 |6.设函数在区间(a,3)上有定义，如果叫20,饥20,且敛+如=1,对任意(必 &)上的Xi ,xz都有 ，则称函 数在伝0)上是下凸函数.
得啪 17.多项式x3~2r2+x~k被工一2除，余数为5,则龙= .
得分|…倔.设a”是整环R的任意元素，如果
，则称d是a 最大公因式.
———— [1 2 3 4 5] ‘
得分| |9.置换L 3 ] 5 2]的逆是 •
得珊 |10.假定预先给定了 «类数(或数组)，如果n+1个数是从这〃类中取出来的，那么 至少有 数是从同一类中取出的.
得分评卷人
三、计算题(每小题15分,本题共30分) 得分)|11.设 V={1,2,3,4,5,6},A={1,3,5},B={2,3,4},C={4,6},求：
(l)(AUB)nC； <2)(AUB)U(B-C).
得分 12.设正实数x,y,z,且求函数/(zr,jz,«)=.r2+3y+2«2的最小值. 得分|评巻人
―> :—— 四、计算分析题(每小题15分，共30分)
得分 13.设 ZizLr]中的多项式 3和 g(z)=2工’一z+5,计算 /(x)g(j-).
得则「国.某校高一年级二班有45名同学，每人都参加暑期夏令营活动，夏令营分为三个 训练项目：游泳班、足球、围棋班.已知游泳班抿了 25人，足球班报了 20人，围棋 班报了 30入，游泳班和足球班都报的有10人，游泳和围棋班都报的有10人，足 球和围棋班都报的有12人.求三项训练项目都报的有多少人？
得分评卷人
五、证明题(本题10分) 得分 15.在R上定义运算a^a+ab^b,试证明运算“。”是满足交换律和结合律.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2007-2008学年度第二学期“开放本科”期末考试（半开卷）
高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2008年7月
一、 单项选择题（每小题3分,本题共15分）
1. A 2. C 3. B 4. C 5. D
二、 填空题（每小题3分,本题共15分）
6./（Q1 Xi + 02X2）＜91 /（Xi ） +q2 /（ ）
7.-3
8.，是a 0的公因式,且对任意满足c\a,c\b的元素c,均有c\d
(1 2 3 4 5?
9・
、3 5 2 1 4
10.两个
三、计算题(每4；题15分,本题共30分)
11.解：(l)(AUB)nC -{1,2,3,4,5)0(1,2,3,5)
= (1,2,3,5). （7分）
(2)(AUB)U(B-C) = (1,2,3,4,5}U(2,3}
= {6}U(2,3)
= {2,3,6}. （15 分）
12.解：因为.如了十£・7^=3
V3 V2 (3分)
由柯西不等式得
[l2 + (p7)2 + (^)2][(x)2 +(V3 3>)2 + • V33/+7I • V2z)2=9 (9 分)
-\/3 y 2 a/3 a/2
a 54
所以，f怎点,z)=*2 + 3 寸+2^2 — =#.
所求f^,y,z)的最小值是普. (15分)
四、 计算分析题(每小题15分，共30分)
13.解：/(x)g(x) = (a:2 -3)(2×3 -x+5)
=2j:5—3X2x3—x2 Xt+3j：+5j：2一3X5
= 2x\-7×3 +5×2 +3^-15
=2×5 — 7×3 + 5 a:2 +3x — 3
14.解:设用A,B,C分别表示参加游泳班、足球班、围棋班的学生集合。则 |A|=25,|B|=20,|C|=30,
|AnB|=10,|ADC|=10,.|BnC| = 12,
根据题意，班上所有人都参加了夏令营活动，所以,|AUBUC|=45.
根据容斥原理，得：
|AUBUC| = |A| + |B| + |C|-(|AnB| + |BnCi + |AnC|) + |AnBnC| 即 45 = 204-254-30-(10+10 + 12)+lAnBCICl,
所以,|AnsnC|=45-75 + 32 = 2.
即三项训练项目都报的只有2人.
五、 证明题(本题10分)
15.证明：(1)因为 b。a = b+ba + a = a+ab+b=a。。,
所以，“。”满足交换律.
(2) (a°Z») °c =at,b-sr (a°6)c + c
= a+aD+3+(a+a3+3)c+c ~
=a+a6+6+ac+a6c+Z>c+c
= a+&+c+aZ>+Z)c+ac+aDc.
a0 (Z>°c) =a+a(&°c)+&°c
=a +’a (方+3c+c) +&+3c+c
=a+a6+a$c+ac十8+bc+c
= a+&+c+a方十3c+ac+a3c.
所以，(a。们。c = a。(Dm).
即运算“。”满足结合算.
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