试卷代号：1079
中央广播电视大学2007-2008学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学专业高等代数专题研究试题
2008年1月
题号 一 二 三 四 总分
分数
碍 分 评卷人 二、填空题(毎小题3分,本题共15分)
6.(自然数归纳公理)自然数的任何集合M若满足性质;
，则集合M含有一切自然数，即M=N.
7.设函数在区间(a,b)上有定义，如果对于任意的幻，如2。，贝+如=1及x,,x2e
(a/)都有 f ( 9i Xj + q2x2 )》q〔f (g + q2f ( x2 ),则称函数 a, b} ±_ 是
8.e是有理数域上的 元，
9.设R整环,a,b£R,如果满足 则称a与3为相伴元素.
10.“把n+1个球装入”个盒子中，则至少有一个盒子里的球不少于2个”描述的是 原理.
得分评卷人
三、计算题(毎小题15#,本题共60分)
11.为有限集合A上的两个置换，其中
123456123456′
o=»r=
.346512,561243,
试计算(IX1,(2)™,并指出切是什么映射？
12.求*为何值时，函数了 = *3(4 —*)在区间［0,2］内取得极大值，并求出极大值.
13.设六£) = 6工3+7*2—9*+2,萨出多项式_/”(*)的全部有理根，并在Z(z)中分解fix’).
14.试求多项式+x2 +x3 +x4 +x5y展开合并同类项后的项数，以及xlx2xt的系数.
.
得分评卷人 四、证明题(本题10分)
15.设Z是整数集合，对于Z中的任意两个元素a /,定义代数运算。和㊉如下
a°b=a,a^b=a-\-b
证明代数运算。对㊉的左分配律不成立，而右分配律成立.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2007-2008学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学专业高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2008年1月
一、单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
二、填空题（毎小题3分,本题共15分）
（1）1£M；（2）如果a属于启，则它后面的数a’也属于M
10.抽屉
三、计算题（毎小题15分,本题共60分）
1T. ＞：
所以为恒等映射.
12,解：丿=工3（4—工）=§工3（］2一3工），
[0,4] ,「・二20,12 —3二20,且二+公+二+(12 —3z) = 12 是常数
根据均值不等式有
工+工+*+(12-3刃』3(12 一 3Q,即(孕)宴3(12 – 3Q,
}(¥)‘2§护(12 — 3工)，即 272§*3(i2—3Q
当x=12-3x,即工=3时，函数丿=史（4一工）取得极大值为27. （15分）
1 1 9
13.解&因为a“ = 6,知=2/（工）的所有有理根只可能为±1,±2,士寻，士夺，士奈
（5分）
经验证知—2，§，号是八工）的有理根，所以八工）含有因式（x + 2）,（X-y）,（X-y）,
（12 分）
则在ZG）中分解式为八工）=（工+2）（3工一1）（2工一1） （15分）
14. 解：所求项数为 C=CL=HX1打9X8 = 330 （7分）
始工2衣的系数为2! .1!.辭’.0!.0!=1°5 （15分）
四、证明题（本题10分）
15.证明：对任意a,b,c£Z,
a° =a, （aob）㊉（vc） =a+a = 2a
所以 u。（b£c）关㊉（u。。），
运算。对㊉在左分配律不成立. （5分）
而对任意a.b.cEZ,
（Q㊉c） °a = bJrc （Z>°a）®（c°a） —b®c = bJr c
所以 。㊉ c）w = （加u）£（c。^）
运算。对㊉在右分配律成立. （10分）
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