试卷代号：1079
中央广播电视大学2006-2007学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学专业高等代数专题研究试题
2007年1月
题号一 二 三 四 总分
分数
1-集合的相等是等价关系，即有性质（ ）.
A.自反性、反对称性和传递性
B.自反性、对称性和传递性
C.反自反性、对称性和传递性
D.反自反性、反对称性和传递性
2.下列对应关系中是集合A到B的映射的为（ ）.
A. B.
3.下列各数是有理数环上的超越元的为( )■
A. In2 B. V5
C. 一1 +， D. 7
4.有10个男孩和5个女孩，将这15个孩子排成一行，使得女孩都不相邻，共有排法 ()种.
A.P(10,10)P(15,5) B. F(10,10)P(10,5)
C.P(15,15) D. P(10,10)P(ll,5)
「 5.以下组合恒等式成立的是( ).
a. c^=c；-1 + cr1
B.+ =
c. c ：=c i 十 c i
D.= + c甬
得分评卷人 二、填空题(每小题3分，本题共15分)
6.设(A,。)和(B,①)是两个代数体系,。是集合A到B的映射，如果对A中任意元素们，
饥，有 ，则称a是(A,。)到(B,㊉)的同态.
7.设(R, + ,X)是环，那么对R的任意元素a,们有 ，则称R 是交换环.
8.在整环R中，两个元素a与b相伴的充分必要条件是
9.设有10元素的集合S,其中有3个元素只有性质P(l),有4个元素只有性质卩(2),有
2个元素同时有性质P(l)和F(2).则S中不具有性质P (1)和P (2)的元素个数是
10.3个”• ”，2个”一”可以传递 个不同信息(或者符号).
得分评卷人
三’计算题（每小题15分，本题共60分）
11.设 V= {a,b,c,d,e,f} ,A= {a,d} ,B= {a,b,e,} ,C= {们d}，求 （D（AnB）C； （2）（A-B）U（B~C）.
Q 9
12.已知工V2的条件下解不等式土三1一土.
jC 乙 JC \ Lt
13.在Z［妇中分解多项式工4+=3+2工-*4.
14.假设第一个月初，有一对（雌雄各一）初生的小兔,而每对初生小兔从岀生第二个月开 始每月生雌雄各一的一对小兔.问第9个月末有多少对兔子？
得分评卷人 四、证明题（本题10分）
15.证明实系数奇次多项式至少有一个实数根.
试卷代号:1079
中央广播电视大学2006-2007学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学专业高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2007年1月
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. B 2. C 3. A 4. D 5. B
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.） =a（ar ）©£7（（z2 ）
7.aXb^=bXa
8.a = bXu（b—aX u） /可逆
9.1
10.10 三、计算题(每小题15分，本题共60分)
11.(l)(Ar\B)UC=L{a,d}P\{a,b,e}2\J({a,b,c,d,e9f}-{b,d})
= {a}(J {a9c,e,f} = {a9c,e9f} (7 分)
B)\J — ({a,d} ~ {a,b,e}) (J ( {a,b,e) — {b,d})
= {d} U {a,e) ^{a,d,e} (15 分)
12.原不等式等价于
—狞 +5z + 6 _ (*+1)(6 — z) v(乏一？)
(二一2)(工+2) — G —2)& + 2)— 0 天一7
因为j7<2,^—2<0,故上式等价于
(x~\~ 1〉0
jc+2>0
•z+2V0
■z+1 VO
6 —
■z + 2V0
它们的解分别为：-l<^<2,或无解或工V —2.
所以，原不等式的解为
（―8,—2）U[ —1,2）
15 , _ , a0的因数右,,,
13.角=1,”0-—4. 的因数有:士1，士2, 士4.
因为 (工)=£+j：3+2j~4
计算 /(-1)^0,/(1)=0,/(-2)==0,/(2)^0,/(–4)#0,/(4)^0,可知,x=i,x=~2 是 /(^)=0 的根，有 f(z) = (工一1)(工+ 2)g(z) (8 分)
用辗转相除法求得<7(.r)=^2+2 (10分)
所以，
/'(•z)=工’+ 工3+2$ — 4=(工一1)(工十 2) (j?+2) (15 分)
14.设第r月末有F(r)对兔子.
P(1) = 1,F(2) = 1 + 1 = 2, (2 分)
F(3)=2 + 1 = P(2) + 1 = 3,P(4)=3 + 2 = F(3)-|-F(2) = 5
F(5) = 5 + 3 = F(4) + P(3)=8,P(6)=8 + 5 = P(5) + F(4) = 13 (8 分)
一般地，有公式
P(r) = F(r-D + F(r~2),r>3
当r=9时，有
F(9) = P(8) + P(7)=2P(7)+F(6)
= 2X[P(6) + F(5)] + P(6) = 2X(13 + 8) + 13 = 55
答案：第9个月末有55对兔子. (15分)
四、证明题(本题10分)
15.设
y(jr) =a2„+i-r2，，+1 +<^2,,工” «1 a: +-<70 (a2„+i 夭0)
f(x) = uzn+i-E2″4^1 +«2„.rz” + …+ 们 工 + a()
=/”+'[知,宀十学+ “・+云十閔7〕 (4分) ；
当+ 8时，中括号中除⑶宀外，其余均趋于0.所以，当+ 8时，函数/S)所取符 号与勿宀相同.当工…一8时，函数y(z)所取符号与妃+1相反.可见存在A€>0,y(-M)与f (M)异号. (8分)
由函数的连续性质可得，至少存在一个实数a,使得/(a)=0, (10分)
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