试卷代号：1079
中央广播电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业高等代数专题研究试题
2006年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
得分评卷人
一、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
1.在自然数集合中,如果数/在数a的后面，称/是a的后继元,a是/的前元，则（ ）不
成立.
A.任何一个不等于1的自然数a都有惟一的前元
B.任意自然数a0,若a = b,则a’ = D’,反之亦然
C.对任意自然数a,有a = a’ + l
D.对任意自然数a均有a手a’
2.设a0是整环R的任意元素，如果（ ），则称d是a0的最大公因式.
K. d\a,d\b
B.c是a ,3的一个公因式，有d| c且d\a,d\b
C.c任意满足c\a,c\b的元素，且d\a,d\b
D.c任意满足c\a,c\b的元素，且d\a,d\b,c\d
3.屯是无理数域上的( ).
A.超越元’ B.代数元
C,不可逆元 D.不可约元
4.如果( )，则称不可约多项式P&)上多项式r(r)的k心1)重因式.
A.F* (x) |/(x),但是 P+ (z)卞f (工)
B.(x) I /(x)，但是
C.Pi+i (x) I /(^),但是 F*(x)V(^)
D.Pk (工)I /(jc),但是 P*-1 (z)W&)
5.将字母a,b,c,d,e,f进行排列，使得字母3总在字母e的左边，则有( )种排列法.
A. 5! B. 6! -5!
C.2X4! D. 4!
得分评卷人
二、填空题(每小题3分,本题共15分)
6.若有限集合A, B之间存在双射，则集合A, B的元素个数满足
7.若环R是含有元素1(乘法恒等元)，且是 ，则称R是 整环.
8.剩余类环乙的可逆元素1,3的逆元是 .
9.有纪念章4枚,纪念册6本，赠给10位同学，每人得一件，共有 种不同分法.
10.多项式(a+b+c+d)10展开合并同类项后共有 项.
11.判断对任意集合A,B,C,若厶尹尹C,则A尹C,是否正确？若正确请给予证明.
若不正确，请举例.
12.1^叙述相伴元素的定义.
[1 2 3 4 5
2 5 14 3
14.解不等式J2工+5＞工+1.
15.求多项式2£+3工z + 4z+5的根之上，下限.
16.将标号为1,2,3,4,5,6,7的七个彩球按下列要求排成一排,分别有多少种排法?
（1）1,2号彩球必须排在两端
（2）1不能排在左端,2不能排在右端.
17.设/Xz）是区间D上的下凸函数，证明对于D上的’任意灰口2,“・，工”
如果x1+x2 + ,,,+x„=a（定值），则当而=血=”,=工*时,
函数/’（而）+/•&〃+ •••+〃％）达到最小值.
18.已知递推公式巴=巳_1+”，当P° = l,用数学归纳法证明
试卷代号:1079
中央广播，电视大学2005-2006学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学专业高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2006年7月
一、 单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
I.C 2. D 3. B 4. A 5. A
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.|A| = |B|或相等 .
7.无零因子的交换环
8.1,3
9.Clo = 21O
10.
三、 简述题（每小题5分，共10分）
II.不正确.如 A={1}^B={1,2},B^C={1},但是 A = C. 5 分
12.对于整环R中的元素a,们如果a\b,b\a,则称a与3为相伴元素. 5分
四、计算题（毎小题10,本题共40分）
14.解-^+5>x+1等价于
v x+l>0 ( I )
2h+5〉(z+1)2
r2x+5>0
或」 (n) 5分
I z+l VO
解式（I）,得 一1V*V2
解式（U）,得一2三*<—1 9分
所以不等式的解为j-y<x<-l|U{-l<^<2} 10分
15.解：L = max（3,4,5}=5,l + -r^-r = 3. 5,
\a3 I
所以该方程的根的模小于3.5, 3分
又 —444^以冼=4，m=* 7分
Z 3 4 4 Z
所以该方程的根a满足 ^<\a\<^ 10分
16.解：（1）将1,2号彩球必须排在两端有P2排法，其余5个彩球任意排列，有R种排 法，
于是，所求的排列FzXR =2X120 = 240； 6分
（2）全部彩球排列，共有R种排法。其中1号在左端的排列有P6种，2号在右端的排列 也有R种，同时1号在左端且2号在右端的排列有R种.
于是，所求为 P7-2P6 + P5=5040-2X720 + 120 = 3720 10 分
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
17.解：因为六工）是区间D上的下凸函数，对任意D上心，互，…，z”，
取q* = §>0 （& =1,2,“・，1）,且qi+q? % = 1,根据下凸函数的选择，有
須3 ） +y（*z）H f （工”）+*2 —工”） 4 分
n — n
即 &地W土土&2总大于或等于
n
全土冬比土全）= £） 5分
n n
当 e+0 + ・”+z“ = a 时，八幻十*2 +H”）=y（wi）
/（X1 ） +八工2） （/Xm）是定值）
所以 y（a：i ） +/（x2） + ••• + /（ ）当幻=工2 =”・=円!时取得最小值. 10分
666
18.证明：（1）当”=0时，R = 笋2 = 1公式（*）成立
（2）当n = k时，公式（* ）成立，即PL
k2+k+2
2-
则当时n^k+1时，巳+i=R+为+ 1 =竺峰兰+& + 1,有
_&2+为 + 2+2，+ 2_（为+1）2 + （& + 1）+2 = 2 2
即当n=k + l时，公式（* ）成立 8分
所以，对一切自然数，公式（*）成立. 10分
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