试卷代号：1079
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业高等代数专题研究试题
2006年1月
题号 一 二 .三 四 五 总分
分数
得分评卷人 、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1.以下关于集合的不正确结论是（ ）•
A.设集合 A={1,2},则 |P（A）|=4
B.设集合 A=（1,2},B=（1,2,3）,则 |AXB|=6
C.设集合C={x\x是实数且/ + i = o,},则|©=2
D.设集合 A={l,2},B={a,b},则 |A—B|=2
2. 设a/是实数，且ab<0,则有（ ）成立.
A.| a + 6| > | a — b\
B.I a~\~b I V I a — b\
C.\a-b\<\ \a\-\b\ I
D.\a~b\<\a\ + \b\
3.工’+3*2+虹+ 2被工一1除,余式为3,则k=(. ).
A. —3
D. —2
4.以下结论不正确的是( )•
A. CI
D. CI
得分评卷人
二、填空题(毎小题3分,本题共15分)
6.设。是集合A 到B的映射，那么a可逆的充分必要条件是
7.自然数的乘法是一种对应，对于每一对自然数a与们有且仅有一个自然数aXb与之
对应，并具有两条性质: •
8.若/'(z)是下凸函数，则有下式
/(qiXi +如*2 qqQVqi /( J：! )+q2/(x2)+q„/(a:„ )
其中qi浦2，…，q”满足.
9.多项式史十*2 —5^ + 3的三个根之和的立方是 • ‘
10.由4个0和3个1可以组成 个不同七位二进制数.
得分评卷人
三、简述题(每小题5分，共10分)
11-试表述“第二数学归纳法”.
12. n个正实数的算术平均值大于或等于这n个数的几何平均，称为均值不等式.
试证明n=2时的均值不等式.
得分 评卷人 四、计算题(每小题10分，本题共40分)
13.设置换 1 2 3 4 5) 卩 2 3 4 5)
= ,<72 =
4 5 3 2 1] [25143
求C如和＜7己
14.已知正实数满足2工+ r+z=10,求为何值时,x2+y2+z2取极小值，并
求其值.
15.设 ZgCr］中的多项式 f(x) =jc2 —5 和 = 7×3 ~3×2 —x+1,计算 f(x) • g(z).
16.在由a,b,c三个字母构成的五位符号串中，求至少出现一次的符号串的数目.
得分评卷人
:——五、证明题(每小题10分，本题共20分)
17.证明：若(a,3)〜1,则(a,a+3)〜1.
18.在边长为1的正三角形内任意投放5个点,则至少有两个点之距离不超过号.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2005-2006学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业 高等代数专题研究
试题答案及评分标准
（供参考）
2006年1月
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6m是A到B的双射（或一一映射）
7. （l）aXl = a；（2）aXy = aXd+a
8. qk > 0(^ = 1,2,…/) ; y q* = 1
k~i
9.-1
71
10.e = 35
三、简述题（每小题5分，共10分）
11.对于一个与自然数有关的命题T,若满足
（1） 若72=1时命题T正确；
（2） 假设命题T对n<k时正确，就能推出命题T对n = h正确.
则命题T对一切自然数正确. （5分）
12.设a,6是两个正实数，则有
（Va—”）2 说0
即a + b>2 J福，有啰2 J義,只有当a = b时,上式取等号.
均值不等式成立. （5分）
四、计算题（毎小题10分，本题共40分）
13.
[1 2 3 4 5″1 2 3 4 5
12 3 4
4532125143
5 14 2
（6分）
fl 2 3 4 51
(10 分)
14.用柯西不等式，
102 = (2 – z+1 • y+1 – z)2<(22 + l2 + l2)(^2+y+^2)
（6分）
当■! = »’时，将其代入+ L】。，得到，当
时,x2+y+z2的极小值为亨. （io分）
15./（X）, g（x） = （x2 — 5） • （7护一3×2 —x+1）
7Xs —5X7j? —3jc4 +5X3x2 —x3 +5x+x2 — 5 （5 分）
=7xs — 一4a;3 +5^:—5 （10 分）
16.设S表示由a,b,c三个字母构成的五位符号串的集合,At,A2分别表示S的符号串 不出现a和3符号的集合.则瓦■表示符号a,b至少出现一次的五位符号串.（4分）
由筛法原理
I 瓦 n瓦丨= isi—+ —丨 i&nAi） （7 分）
容易计算出 |S| =35 ,\A1 | =25, \A2 \ =25, |& C|A21 =1.于是
冈 n瓦丨= isi—（iai + iai —i&n&D
=35 •— 25 — 25 + 1 = 180 （10 分）
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
17.设（a,a + &）〜c.则 c|a,c|（a + &）.
于是,c|（a + D）—a,,即 c|h （4 分）
因此c是a与3的一个公因子，从而c|（a0）. （7分）
但是,（a»6）〜1,故 c~1,所以（a,a + 3）~l. （10 分）
18.设正三角形ABC,取边AB,BC,CA的中点，分别记为D,E,F,连DE,EF,FD,将正 三角形ABC分成四个完全相同的边为亨的小正三角形.（5分）
将5个点投放到这四个小正三角形中，由抽屉原理，至少有一个小正三角形内有两个或更 多个点.必有两个点的距离小于或等于小正三角形的边长?.结论得证.（10分）
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