试卷代号：1079 座位号匚口
中央广播电视大学2004-2005学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业高等代数专题研究试题
2005年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
得.分 评卷入 一、单项选择题(毎小题3分,本题共15分)
1.不等式->-3的解集是( ).
X
9 9
A.(―oo, —y) B, (―oo,—y)U(0,+oo)
9 9
C, (-y,0)11(0,+~) D. (~y,0)
2.设一个代数体系(R, + ,X),下列条件中，不是环的定义必须满足的条件为().
A.Va,3£R,a + 3=3+a
B.在R中存在一个零元素们使得Va£R,有a+0=0+a = a
C.在R运算X对+满足分配律
D.Ya,b£R,aXb=bXa
3.以下结论正确是( ).
A.实系数奇次多项式至少有一个实数根
B.任何实系数n(n>0)次多项式至少有一个实数根
C.任何复系数n(n>0)次多项式至少有一个实数根
D.复系数n(n>0)次多项式一定有〃个不同复数根
4.分配4个学生到3个不同单位实习，不同的分配方式有（ ）.
A 7! g Q4
A. 3! n 3
C. CJ D. C；
5. 从m个正整数ax ,a2，,•, 中任意取出m + 1个数，则（ ）.
A.至多有两个或两个以上的数相同
B.只有两个数相同
C.至少有两个或两个以上的数相同
D.相同的数必有m个
得 分 评卷人 二、填空题（毎小题3分,本题共15分）
6.设函数六工）在区间（a,3）上定义，如果gi>0,q2^0,且们+如=1,对任意（a,3）上的 Z1 8 ,都有 ,则称函数fix）在 （a,3）上是上凸函数.
7. 设R是整环，如果对R中的元素a ,存在R中的元素知使得 ，则 称a是可逆元素.
8.有第1, 2, 3, 4, 5, 6, 7分册的全集五套，从每套中取一本，那么共有 种不同取法.
9.重新排列1,2,3,4,5,6,7,8,使得奇数在自己的位置上，而偶数不在自己位置上的排列 有 个.
10.多项式（工i+工z + ・”+工,）”展开合并同类项后的项数为C；+3-i = CJ=36,那么该多 项式是 .
11.试表述均值不等式(几何平均数不超过算术平均数).
12.试表述可重复全排列计算公式一的含意.
得分I评卷人
四、计算题(毎小题10,本题共40分)
13.设集合A=｛ai ,a2 ,a3) ,B= ｛缶，但｝,试写出A到B的所有不同映射，并指出为单射、 满射和双射各有几个？
14.设正实数x,y,z,且z+r+z=2,求函数
f(.x,yfz)=2xt +3yt +9Z2
的最小值.
15.求剩余类环Zs上的多项式^-1=0的根.
16.求1到1000的整数中不能被14且不能被21整除的数的个数.
得分|评卷人
五、证明题(毎小题10分,本题共20分)
17.设集合M= ((x,y) |x,y是有理数｝，在M上定义运算®，任意M上的元素 (z,少，(a,3),
(a»&)®(x,y) = (ax,ay+&)
证明(M,®)是代数体系.并证明®在M上可结合，不可交换.
18.设R是一个整环,R中任何两个元素都存在最大公因式，则对R中任意元素a,b,c, 有
((a,Z>) ,c)〜(a,(3,c))
中央广播电视大学2004—2005学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应专业高等代数专题研究
试题答案及评分标准
（供参考）
2005年7月
一、单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
二、填空题（毎小题3分,本题共15分）
6./（?1 X1 + ?2 ^2）^91 /（^1）+ ?2 /（^2）
7.aXb=bXa = l
8.CE+7-1=462
9.9
10.（工1 +x2 +x3）7
三、简述题（毎小题5分.共10分）
12.设c个缶和a个頌且门+々=”的集合S,则S的元素的全排列个数为
击《分）
四、计算题（毎小题10,本题共40分）
13.所有映射为
<71 Ki-*”缶，此-*”缶，缶；
03:釦-►缶 9 a2 -^bz »a3 -；
gfbz，衣-►缶，缶；
02:釦一►缶 qfbi »a3-*61 ；
:”if 缶缶，缶;
ffs:釦-►缶 ^a2~^bi 9a3-;
ff?:,ai~*-b2 ,a^bi; <jt:; （8 分）
单射和双射没有.满射有6个. （10分）
14.工+了+之=丄• y/2x + ~~ • V^y+4- • 3之=2 （2 分）
V2 V3 3
由柯西不等式
[伝）2 + （彖 2 + （｝削 Se + W + （3J]
• y/2x+-~^ ・龙> + . 3之）2 =4
V3 3
所求2×2 + 3>2 + 9z2的最小值是指. （10分）
15.Z8 = （0,1,2,-,6,7}, （3 分）
Z8中使得多项式/（x）=x2-T为0的均为其根.
经验证,f （1） = 12 -1 = 0,/（3） =32 -1 = 0 ,/（5） =52 -1 = 0,
/（7） = 72-1=0 （8 分）
可知所求全部根为，耳,5,2. （10分）
16.设S ={l,2,3,“・，1000},A,B分别表示S中能被14和21整除的整数集合.（2分） 则
=［譬］= 7］,田| =［驛］= 47, |”B| = ［7驟3『23, （5 分）
所求为
|AnB| = lTOB| = |S|-|A|-|B| + |AnB|
= 1000-71-47 + 23 = 905 （10 分）
五、证明题（毎小题10分，本题共20分）
17.因为,a,b，w 都是有理数，所以ax,ay+b也是有理数，（拓,巧+ 3）是M的元素，故
（M,®）是代数体系. （2分）
任意（*,y）,（a/）,（c,d）属于 M,
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^(a,b’)0(.x,y’)^]0(.c,d’) = (.ax,ay+b’)0(c,d) = (.axc,axd+ay+b’)
{a,b’)®\_{x,y’)®{c,d)~\ = {a,b)®{xc,xdJry) = {axc,axd->rayJrb)
可见,®在M上可结合. (8分)
(,a,b)®(.x,y) = {ax,ay+b)而&,_y)®(a,6) = &a,部+_y),它们不等.故不可交换.
(10 分)
18.令 d=((a,3),c),则
d\ Qa,b) ,d\c,即 d| a 且 d \b,d\c,从而
d\a,d\b 且 d|c, (4 分)
于是 d|a,d|(3,c),得到 d|(a,(3,c)). (6 分)
又令 d=(a,(3,c)),则
d|a 且 d I (6,c),即 d\a,d\b,d\c,从而
d\a,d\b 且 d|c|,
于是 d| (a,3)且 d|c,得到 d| (a,(3,c)). (9 分)
所以，((a,6),c)〜((a,(3,c)) (10 分)
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