试卷代号：1079 座位号匚口
中央广播电视大学2004-2005学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业高等代数专题研究试题
2005年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
1.如果函数J7（工）满足条件：对任意E与初，有
f（.qixi+q2x2′>>qif（.xi）+q2f（xz’） 其中（ ），则称八工）是上凸函数.
A.qi>0,q2>0
B.Qi 2。，qz 2。且 qi + gz = 1
C.q!>0,q2>0,且 qi • ?2=1
D.gi尹。，女尹。且 qi+gz = l
2.下列环中是非交换环的为（ ）
A.整数环Z
B.剩余类环Z5
C.n阶方阵环
D.高斯整数环ZLQ={a+bi\a,b^j整数}
3.剩余类环Z8的一个真零因子是（ ）.
A. 3 B. 7
C. 5 D. 2
4.一副扑克牌有红桃、黑桃、方片和梅花各13张，共52张.从中任取一张，则不同取法有 ()种.
A. 52 B. 4
C. 134 D. 413
5.将r个不可区分的小球投入几个盒子，每一个盒子的容量不超过一个球(«>r),若计
算有多少种不同投球方式，应该用( )•
A.允许重复组合数公式 B.不重复组合数公式
C.允许重复排列数公式 D.不重复排列数公式
得分评卷人 二、填空题(每小题3分，本题共15分)
6.设@,勿，…，代是正实数，可构造两组正实数列 和
.用柯西不等式，证明+知+ “・+ <15)(丄+丄+・”+丄)225.
<21<22角
7.若~1,那么(a,a + d)~.
8 ,在有无穷多个元素的域上，设多项式f{x)=anxn +a„-lxn~1 ~\ a0和
g(:r)=如宜+九—/I +…+儿，从代数学的观点，如果
则称 /(x)=g(x).
9.7T是有理数域上的超越元，是因为兀不是 多项式的根.
得分评巻人
三、简述题(每小题5分，共10分)
11.试列出三种证明不等式常用的方法.
12.找出整数环Z中的可逆元素，并说明为什么是可逆元素.
得分评卷人 四、计算题(每小题10分，本题共40分)
13.设集合 A={0,e,{a},0,求 P(A).
14.设工,为非负实数，且满足
工+2y+5z = 6
求f(x,y,z’)=xyz的极大值.
15.求 /(x) = x3 —的重因式.
16.试求多项式(心+灰+孔+务+孔)指数展开合并同类项后的项数以及药初以成的 系数.
得分评巻人
五、证明题(每小题10分，本题共20分)
17.设R是实数集,R+是正实数集，任给R+的元素工,令映射
a(x)=lgx
证明。是R+到R的双射.
18.证明恒等式kC\ = nC^\.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2004-2005学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应专业高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2005年1月
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. B 2. C 3. D 4. A 5. B
二、 填空题（每小题3分,本题共15分）
6.
7.1
8.&=仇以=0,1,2,・・・，刀）
9.任何有理系数
10.§
三、简述题（毎小题5分，共10分）
11.列出三种或三种以上的方法，可得满分5分.
参考方法列举：
（1） 欲证 A>B,可证 A~B>0,
A
（2） 当A>0,B>0时，欲证A>B,可证言>1；
（3）欲证 A>B,可证 A>C,C>Bt
等.
12.在整数环Z中，只有1和一 1是可逆元素.1是恒等元.因为1和一 1都不是零元，但
（ — 1）X（ —1） = 1,1X1 = 1,根据可逆的定义知道，它们是可逆元素. （5分）
四、计算题（每小题10分，本题共40分）
13.由播集合的定义，
P（A） = {0,{0},{a},{{a}},{0, （2 分）
{0 ,a} ,{0 ,{a}} ,{0 ,b} ,{a,{a}} ,{a,b} ,{{a} ,b} （6 分）
{0 ,a,{a}} ,{0 ia,b} ,{0 i{a} ib} ,b} （9 分）
{0 ,a,{a} ,b}} （10 分）
14.利用均值不等式
z+2j»+5z23 • 2y • 5z = 3 v/10^xyz （3 分）
XyZ—-27X10 27X10 一亏 “分）
当x=2y=Sz时，得x = 2,y=l,z=^-时,xyz的极大值是& （10分）
15. 只要求出六*）与广（工）的公因式即可. （1分）
f （z） = 3j?—x—2
3/*（z）= 3j?—詩廿―6二+荡（z）&—§）—甞（工一1） （4 分）
而 f （z）=3j?—z—2=（3z+2）&—1），有
（/*（%）,f （z））〜（z — 1） （8 分）
所以x-1是 以二）的二重因式. （10分）
16. 所求项数为 C編T = C” = M X13土 12 X11 = 100] （5 分）
二位2以工；的系数为诳 卩4, 0]~~小=耘6°° （10分）
五、证明题（每小题10分,本题共20分）
17.由对数函数的定义域和函数值，知a（x） = lgx是R+到R的映射.（2分）
（1）任给R+的两个元素心，工2且刀尹工2,由对数函数的严格单调性，有
） = IgZi 尹也工2 =。（工2）
这表明。（工）= lgz是单射.
（6分）
（2）任给R的元素少则存在z=10,属于R+，则有
o(x) = lgx=lglOy=y
这表明Kr）=lgz是满射.
（9分）
总之，。是R+到R的双射.
（10 分）
18-kC-=妇. (DI
（4分）
k • (.k — 1) ! (n—1 — (k —1))1
（7分）
==n
(D!
以一1) ! ((n—1) —(^―1)) !
（10 分）
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