试卷代号：1079
座位号匚口
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业高等代数专题研究试题
2004年7月
1.
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
如果集合满足|厶| =m,则厶到B的不同映射共有（
）个.
2.
A. m
B. mXn
D. nm
整数环Z上的多项式f {x）^anxn + an-rxn~x H a0在实数域上（
).
A.至少有一个根
B.恰好有n个根
C.至多有〃个根
D,不一定有实数根
3.
设,jC2，…皿是正实数，且为〉1，则（ ）•
A. (Zl +士2 七•’士n ) 2互+臣+・..+互
* – n n n
c. (z】+士2——H
D.
C. Dn-i+Dn-2
5.整环R中元素p是不可约元素，则（ ）.
a. p^e,p不是可逆元素
B.p^e,p不是可逆元素，由p=aXb^a为可逆元素或&为可逆元素
C.p^e,p不是可逆元素，则由b=aXb^>p\a或
D.p^d,p不是可逆元素，由i>=aXb* 为可逆元素且&为可逆元素
得分评卷人 二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.设f是非空集合A到非空集合B的映射，如果 ，那么就称/是单射 函数.
7.1 + /V2S有理数域上的 元.
8.从10个元素的集合中取出7个元素（可以重复）共有方法数
9.若多项式f （工）的系数a“，…，知，何满足（a“”・a】a。）= 1,则称该多项式为
10.在剩余环Z8中方程^2-T=o的根是 .
得分评卷人
三、简述题（每小题5分，共10分）
11.试给岀一个从整数集Z到自然数集N的满射，但不是单射的映射，并说明理由.
12.设有儿个数组，试以此表述抽屉原理的形式.
得分评卷人 四、计算题（每小题10分，本题共40分）
13.设x,y,z是正实数，且X2 +y2 +z2 =5,求2z + 3j+4z的极大值.
14.求&+y+z+z）s展开合并同类项后共有多少项，并指岀项工勺3^”的系数.
15.假设平面上有10条直线，它们两两相交且没有三线交于一点.求这10条直线将整个 平面分成多少个区域？
16.设Z3上的多项式/（工）=2工3 +工2 +z— 1 ,g（工）=工2 +1 ,求/（工）g（z）.
17.证明对任何实数而，心，“•，％,有不等式
V户法z汗.二干云
18.设港£Z｝，那么R对于普通数的加法和乘法构成环，试证R是一个整环.
试卷代号：1079
中央广播电视大学2003-2004学年度第二学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2004年7月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
二、填空题（毎小题3分，本题共15分）
V 工 1，工2 £ A,且工 1 丈工 2 測 fC^l’)yzfCx2′)
7.
代数
8.
C1O+7-1 =C”
9.
本原多项式
10. 1,3,5,7
三、简述题（每小题5分，共10分）
11.设任给keZ,f（k）=\k\.因为对任意n€N,存在 LnCZ,使得心=
x\=n,故須是满射.又因x=±2£Z,都有（工）=2,故f不是单射.
12,如果有n+1个数,取自这tz个数组，则至少有两个数取自同一个数组.
四、计算题（每小题10分，本题共40分）
13.由柯西不等式
(2x + 3y+4z)2 =(2Xx+3Xy+4Xz)2)
<(22 +32 +42)(j：2+y+z2) = 29X5 = 145
（7分）
所以2工+3j>+4z的极大值是面哀
(10 分)
14.展开式的项数是C知t=C；3 = 13X按11=286
（5分）
项工勺的系数是?! 3豊！ •订= 12600
(10 分)
15.设表示所分平面的区域个数,
当 n = 0 时,/(0) = 1； 当 n=l 时,f(l)=2 = l + l9f(n)=f(n-D+n
当 n = 2 时，/(2)=4 = 2 + 2 = /(l)+2,/(n)=/(n-l) + n
当 n = 3 时,/(3)=7 = 4 + 3 = /(3)+3,/(n)=/(n-l) + n
（5分）
有公式 /(n)=/(n-l)+n
（8分）
得到 /(10)=56
(10 分)
10条直线将平面分成56个区域.
16.六工)gGr) = (2工3 +*2 +&_[)+2),
=2工5 +z‘ +2 工 3 —x2 +那 +2^2 +z—2
(6分)
=2工’+工’ + 工2 +z—2
(10 分)
五、证明题（每小题10分，共20分）
17.任给工£R,令r（z）=z2,因为广（工）=2〉0,故八工）是下凸函数,
(4分)
有性质
f+飞2 Hz”)V r(Zl)+f(工 2)H J”(工Q
（7分）
即（“1 +互 ％）2 V若 +蓦 +…”
所以
V何+蓦+…+无
（10 分）
18.易知R对于数的乘法可交换.故R是交换环
（1分）
是零元.
（3分）
▼工1,工2 £R, m知，肉Z，成1次2 £Z.使得
刀=烏，互―kl
2% ‘若尹们飞2尹们则知尹0以2尹0,则有工1工2手8 >即R中无真零
因子.
（7分）
存在1 =，£R, V ££信^£><1 = 1乂务=务（如772以），即1 =，是R的恒等于.
总之,R是整环.
(10 分)
点点赞赏，手留余香
给TA打赏
评论0