试卷代号：1079 座位号匚口
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业高等代数专题研究试题
2004年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数-
1.集合厶={1,2,3},则厶的幕集|F（A）|=（ ）.
A. 3 B. 23
C. 32 D. 35
2.如果a2+b2+c2 = l,则以下结论正确的是（ ）.
A. | abc | B. 十胪十c32季
C.湖十5十页2§ D. 十b十c|21
3.设R是整球,是R的任意元素，昨R,使得（ ），则称&是aM的公因式.
A. a\d9b\d B. ab \ d
C. d\a^d\b D. d\ ab
4.若f（z）是域F上的1次多项式，则在域F中（ ）.
A.至少有TZ个根 B.恰好有77个根
C.可能有根，也可能无根 D.至多有7Z个根
5.设是多项式，则f（z）除以2^-1的余式是（ ）.
C. /(2)
D. /(-2)
得分评卷人
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.给定自然数a,们若存在一个数龙，使得 则称a大于们
7.不等式|a—+ 取等号的条件是 .
8.将刀个苹果（不可区分）放入m + 1个盒子里，共有 种方法.
9.模8的剩余环Zo中可逆元素的个数有 个.
10.自然数e是有理数环上的 元.
得分评卷人 三、简述题（每小题5分，共10分）
11.试给出一个从Z到N的单射，但不是双射的映射，并说明理由.
12.试叙述代数学基本定理 得分评卷人
四、计算题（每小题10分,本题共40分）
14.已知正实数£,夕,2满足x+2y+6z=17,求芸的极小值.
15.求乙［釦中的多项式史在乙中的全部根.
16.求由2个0,3个1和3个2组成的八位数的个数.
得分评卷人
五、证明题（每小题10分，本题共2。分）
17.求证若域Fa含有力个元素，则从函数论的观点出发F上的不同多项式只有有限 个.
18.证明：如果在边长为1的等边三角形内任取10点，则必有两个点，它们的距离不大于 1
T-
试卷代号：1079
中央广播电视大学2003-2004学年度第一学期“开放本科”期末考试
数学与应用专业高等代数专题研究试题答案及评分标准
（供参考）
2004年1月
一、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
二、填空题（每小题3分,本题共15分）
6.
a~b~\~k
7.
ab^O
8.
9.
10.超越
三、简述题（每小题5分，共10分）
li.设 七ZfN,任给^ez,/（^）=J
泌招,
任给Hi ,互£Z且而乂 H2 ,如果均大于0,则r（z\—1） = 2而+ 3尹r（H2）=2H2+3；
如果Hi，互均小于0,则—2^1 乂/’（互）=一2工2 ；如果女1互VO,则/”Ml）与/”（互）分另!I 为奇数或偶数，显然故是单射.
当>=1时，不存在整数满足r（H）= l.故是单射，但不是双射.
12.任何实系数n（n>0）次多项式至少有一个复数根.
四、计算题（每小题10分，本题共40分）
13. T
ar
fl
（1
5/1 2 3 4 5
（4分）
（6分）
[1 2 3 4 5
（10 分）
14.因为 17? = （j； + 2y+6z）2 =（丄乂龙工+2X了 + 2X3z）z
72
（3分）
1 17
＜（（^）2 +22 +22 ）（2^2+y + 9^） = y（2^2+y+9^）（柯西不等式）
（7分）
所以2^+y+9z2的极小值为172 X畚= 34.
（10 分）
15. Z&中的元素为。,1,2,耳,*,5,
（4分）
逐一代入工3 +5^ = 0,可知全部根为0,1,2,3,4,5.
（10 分）
16.这是一个S={2 • a,3 – 6,3 • c}的全排列问题,
（4分）
但是0不能作首位，而1或2为首位的八位数都是
（2+2+3）! —
2! 2! 3!
（10 分）
故所求八位数共有210 + 210 = 420个.
（10 分）
五、证明题（每小题10分，本题共20分）
17.域F上任意一个多项式都是FfF的映射.
（4分）
但因为F只有？个元素，因此FfF的映射只有个，所以F上的多项式最多只有忙
个.
（10 分）
18.将等边三角形的各边三等分，过各边的分点作直线平行其邻边，这些直线将等边三角
形均匀地分成9个全等的小等边三角形，它们互不相交且其并为原等边三角形.小等边三角形
的边长为
（5分）
在等边三角形的内部任取10个点，由抽屉原理，至少有二个点取自同一个小等边三角形,
该二点的距离小于或等于小等边三角形的边长§.结论得证.
（10 分）
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