微信小程序试卷代号：1O76
座位号匚口
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
常微分方程试题（半开卷）
2020年1月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
一阶线性微分方程『+力&）j/=qGr）的积分因子是（ ）.
2.
A.兴=厂3
C.乡=厂3
方程 + k ）.
ax
A.无奇解 B.
C.有奇解丿=1 D.
B.
D.
3.
4.
5.
|g(z)dx 么=eJ
p(x)dx
必=3
二阶方程y” + 2*’ +巧=0的等价方程组是（
A.匕 =力
顷1 = 2玲1 +工了
c ly，=>1
. ly / =2xy^ — xy
B.
D.
三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个（
A. 1 维 B.
C. 3 维 D.
‘dz
互=一了
心 的奇点（。，。）的类型是（
=T
A.焦点
C.鞍点
B.
D.
有奇解>=±1 有奇解y= — 1 ）.
顷’=一2可1 — xy
R =31
板J =一2企卩+xy ）线性空间.
2维
4维
中心 结点
得分评卷人
二、填空题（每小题3分,本题共15分）
6.方程3 + Ddx + （z + 1）心=0所有常数解是 .
dy
7.方程在=1 丁 I满足初值解存在且唯一的区域是 .
8.向量函数组丫1伝），丫2（工）厂・・,匕（［）线性相关的 条件是它们的朗斯基行列 式 W&） =0。
9.方程苴+ 2搭+工=犬的任一解的图像是三维空间0商，/）中的
drc d?
得 分 评卷人
三、计算题（每小题8分，本题共40分）
求下列方程的通解或通积分：
11.求变量可分离方程tan>dx — cotrd^ — 0的解.
12.求一阶线性非齐次方程孕■ +史泌夕=3z厂工的解,
dz x
V
13.求全微分方程一dx + （j?3 + Inx）= 0的解。
x
14.求克莱洛方程w=_Z3/+j/2的解.
15.求恰当导数方程刈〃+3）2+3卫2=0的解.
晶分|评卷人
四、计算题（本题共15分）
16.求下列方程组的通解.
202
dy
评卷人
五、证明题（本题共15分）
17.证明：一阶微分方程
dy siny
& rr 2 + 3/ 2 + ] 的任一解的存在区间必是（一8,+8）.
试卷代号：1076
国家开放大学2019年秋季学期期末统一考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
I.D 2. A 3. B 4. C
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.y =—],工=—1
7.全平面
8.必要
9.一条曲线
10._?（瓦以0）=Q（ZO 以0）=0
三、 计算题（每小题8分,本题共40分）
II.求变量可分离方程tanydjc — cotxd^ =0的解.
解 当z尹三+虹点乂齢以=0, ± 1, 士 2,…时，分离变量，两端取积分得
,. * f 丨 C |
J tany J cotz 即 In I sin> I = — In I cosx | + In | C |
通积分为：sin, • cosz=C （8 分）
12.求一阶线性非齐次方程孕+旦当 =3«工的解.
ax x
解 先解齐次方程，通解为：C空=—+ C J y J x
艮卩 y —C （4 分）
。一 H
令非齐次方程的特解为以=C&）——
代入原方程，求岀C（x） = j；3 + C
原方程的通解为= —（^3 +C） （8分）
X
注：直接用通解公式求出方程通解，同样给分.
13.求全微分方程—dx + Cy3 + liw:）d> = 0的解.
JC
解 因为 挙=丄=半,所以原方程是全微分方程 ay x ox
取Go ,外）=（1,0）,原方程的通积分为：
『兰& + Od,=c
J 1 X J 0
分离变量解此方程,通积分为:;:/ =C1x-^4+C2
2 4
四、计算题（本题共15分）
特征根为Ai =1,A2 = — 1
d> siny dr 工2 + / + ]
的任一解的存在区间必是（一8,+8）.
证明 方程在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又y=kK,k=Q,±l,±2,-,
是方程的常数解. （6分）
对平面上任取的（孔，贝）
若y0 =砍，则对应的是常数解y =饭，其存在区间显然是（一 8, + 8）
若如E以mQ+D/r）,则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越
y=^r和,=。+1）宀于是解的存在区间必是（一8,+8）. （15分）
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