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国家开放大学2019年春季学期期末统一考试
常微分方程试题（半开卷）
2019年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
得分评卷人
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.微分方程□: （.y’Y + 2yy’ — 3j: —0是 阶微分方程.
7.方程$=/2+cos）满足解的存在惟一性定理条件的区域是 ・
8.方程―— y2的奇解是 •
ax
9.二阶线性方程y，，+ y=0的基本解组是 .
10.向量函数组在区间I上的朗斯基行列式汙（工）=0是它们线性相关的 条件.
得分评卷人 三、计算题（每小题8分，本题共40分）
11.用分离变量求方程「=）（了一1）的解.
12.求一阶线性非齐次方程半+兰=充的解.
dx jc
13.求全微分方程2玲& + （了2 ）心=0的解.
14.求克莱洛方程）+丁’2的解.
15.求可降阶的高阶方程3勺”+ 1=0的解.
得/「评卷人
四、计算题（本题共15分）
16.求二阶常系数线性微分方程V —詞=sin5j*的解.
得分评卷人
五、证明题（本题共15分）
17.若/（“）在（一8, +oo）上连续可微，且当“夭0时，”3） < 0,求证：方程
—X2 f （siny ）
djr ‘
的任一解丁 = 丁（工）均在（―co, + go）上存在.
国家开放大学2019年春季学期期末统一考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2019 年
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
I.B 2. D 3. C 4. D 5. A
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.—-
7.全平面
8u=±l
9.cosx , sinjr
10.必要
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
II.解 当財（了一 1）=0时，分离变量，得
积分，得［疋土0心=〕丑+ 6
w — 1
通积分为虹財一1|—ln/l = z + G,即一
c
12.解齐次方程的通解为7 =一
x
C（r^）
设原方程的通解为丁
x
X 4
代入原方程，得C（j：） = — C
4
所以，原方程的通解为了 =丄（。+ ：水）
x 4
」 e 9 1 9M 3N
13.解 因为 M（:c = Zxy , N（x ,y） =x r，— =2x =-—
y dy dx
所以原方程是全微分方程.
取（工0,贝）=（0,1），原方程的通积分为
2xy dx + L （—必）心=Cj
即 x[ 1
确定出A=-矿8=切
原方程的通解为y =G + C2e5i + M（cos5工—sin5x）
五、证明题（本题共15分）] [17.证明由已知条件，方程在全平面上满足存在唯一性定理及解的延展定理条件.（6分） 由已知条件容易证明/（0）=0,于是方程有无穷多个常数解丿=/2心”=0, 土 1, 土 2,…， 它们是平面上的一族平行直线. （9分）
设（工。，外）是任一初始点，则相应的初值解了= 了 （工）的函数图像或者是上述平行线中的一 条，或是介于某两条平行线之间.由解的唯一性和延展定理易知其存在区间为（一8, +oo） •
（15 分）]j，+ —=C
14.解 克莱洛方程,通解为
y = Cx + C2
15.解 令丁‘ =八丁”=力£代人方程，得P&P =一尸心 丄+ C上専 7 7
心=］丿1 +Qy2
& — y
分离变量，积分得［/ ‘心
J vT+cy
原方程的通积分为l + C/=（Gr+G）2
四、计算题（本题共15分）
16.解 方程的特征根为A1 — 0, Az = 5
齐次方程的通解为了=6 +G梦
因为a 士洲=士5£不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为
了1 （工）=Asin5x + Bcos5x
|-25A +25B =1
代入原方程，比较系数得｛
I-25A -25B =0
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