试卷代号：1076
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程 试题（半开卷）
2019年1月
题号 一 二 三 四 五 总•分
分数
6.微分方程芸+ z：y=。是
dv
7-方程£ nzsinCz +夕）满足解的存在惟一性定理条件的区域是.
17.试证明：对任意x0及满足条件0 <贝V 1的贝，方程
dy _ — 1)
dx 1 + / + >2
的满足条件:y&o) =y0的解y =y(x)在(一oo, + co)上存在•
试卷代号：1076
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2019年1月
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. A 2. A 3. B 4. D 5. C
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.三
7.全平面
8.n
djy 1
—— g(.x)y
10.不稳定结点
三、计算题（每小题8分，本题共40分）
11.解 当 ‘夭士 1时，分离变量积分得
（4分）
12.解 方程改写成^=–x
dr x
齐次通解为y=CH
令非齐次解为丁 =C（_z）工
代入得 C（x）=-yx2+c （6 分）
原方程通解为V =Cx 一 yx3 （8分）
13.解 因为 祟=—丄=半，所以原方程是全微分方程. （3分）
dy x2 9x
取（工0，丁0）=（1,0），原方程的通积分为
L （e，— m）＜iz+丄必=C 1 （6 分）
V 即 e’+j=C
14.解 由克莱洛方程的通解公式，得 y=Cx+C + C2
15.解 令/ =z、寸=£代入方程，得工£ + z=4z 即（m）’=4i
积分，得 zx = 2xz + C，即 z = 2x + —
X
五、证明题（本题共15分）
V（V — 1）
17.证明 由于刃=[1 2丄-2
1 +z -T y
s 、 （2y – 1）（1+x2+y2）-^（y-1）2^
介 5）= （1 + 宀/）2
在全平面上连续，所以原方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理条件・
（7分）
又显然了 =0,>=1是方程的两个特解• （10分）
现任取了。e（-oo, +00）,了0 e（o,i），记、=、&）为过J。必）的解，那么这个解可 以惟一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越丁 =1，下不能穿越y =o,因此它的存在区间 必为（一co, + co） . （15 分）
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