试卷代号：1076 座位号匚口
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题（半开卷）
2018年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
A.一 x2 C
D. — x2 Cx
得 分 评卷、 二、填空题（每小题3分,本题共15分）
6.微分方程yyf — x（yrY + 2cosh =0是 阶微分方程-
8.纯量方程务『（以的所有解构成-个——维线性空间，其中心是连续函数.
9.二阶方程y’ + xy’+x^ =0的等价方程组是
dx
dT
10.方程组〈的奇点（0,0）的类型是
心
—=3x + 4>
at
得分评卷人
三、计算题（每小题8分，本题共40分）
11.用分离变量求方程（l+H）ydz + （l—y）zdy=0的解•
12.求一阶线性非齐次方程半+ 2xy =4z的解.
ax
13.求全微分方程eAx — （2丿+ zeP）dy = 0的解.
14.求克莱洛方程了 =zj/ + 2（j/）3的解.
15.求可降阶的高阶方程xy”-y’ 的解.
得分评卷人
四、计算题（本题共15分）
16.求二阶常系数线性微分方程壬+工=sin£的解.
五、证明题（本题共15分）
17.设在（一8,+8）上连续可微，求证:对任意的€ （-00,+00）, |>0|<1,方程
* =（V 一 1）/（^）
满足初值条件y （工0）=3,0的解必在（―00, + 00）上存在.
试卷代号：1076
国家开放大学（中央广播电视大学）2018年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2018年7月
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
I.C 2. D 3. B 4. D 5. A
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.二
7.满足丨> |< 1的条形区域
8.1
饥‘ =）1
9- , 2
l>i =—xyx — x y
10.不稳定结点
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
II.解将方程改写为
丁―1 z+l
ay = dz （4分）
yx
积分得通积分为y ~\n\y\ = j： + ln\j：\~ F C，即 y — x — \n\xy\-C （8分）
dv
12.解 对应的齐次方程– + 2^=0 ax
2
的通解为：）=cw （4分）
令非齐次方程解为：J =以工）厂’
代入原方程，得C（z）=2e> +C
原方程通解为：y =Ce^2 + 2 （8分）
13.解 因为 MM,y）=/，N（H,y）= _ dM dN
二—（2）+ze ‘） , —■ = — e ‘= — dyox
所以原方程是全微分方程. （3分）
取（^0— （0,0），原方程的通积分为
[L 丑 一 [2;yd；y =C 〈6 分）
J 0 J 0
即 xe~y 一寸=C （8 分）
14.解 由克莱洛方程的通解公式，得
y= J + 2C3 （8 分）
15. 解 令yf =z则糸，代入有飞令’ —z =3二2 （4分） 可得此线性非齐次方程通解为Z =3工2 + Gx
即华■ = 3×2 + Ci x
原方程通解是丿=工3十!+ G （8分）
四、计算题（本题共15分）
16.解对应齐次方程的特征方程是
A2 + 1 =0
特征根为丄,2=±，，齐次方程的通解为
x = Cicosi + C2sin£ （6 分）
因为Q 士弟=±£是一重特征根.故非齐次方程有形如
工1（£）= t （Acost + BsinZ）
的特解，代入原方程，得A=-y , B=0 （12分）
故原方程的通解为工=Cj cos« + Czsin« tcost （15分） 五、证明题（本题共15分）
17.证明该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理.
又了=士 1是该方程的两个常数解. （5分）
现取工。e （一8,+8）, |w|vi,记过点（工。，外）的解为了愆）.一方面该解可向平面 的无穷远无限延展，另一方面又不能上下穿越丿=士1,否则将破坏解的惟一性.因此，该解只 能在区域G = ｛（工，丿）|见＜1,工€ （-00, 4-00）｝内沿工轴两侧无限延展，显然其定义区间必 是（一CO, + co） . （15 分）
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