试卷代号：1076 座位号匚口
国家开放大学（中央广播电视大学）2017年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程 试题（半开卷）
2018年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
11.用分离变量求方程字=工一+严的解.
ax ey （4 V 1 —I— 7*
12.求一阶线性非齐次方程r + -^y=3ze-*的解.
dx x
13.求全微分方程（工，+工寸+工Z）d工+工2了心=0的解.
14.求恰当导数方程yy^iy,Y = 0的解.
15.求一阶隐式方程（J，一2乓/ + 1= 0的解.
得分评卷人
四、计算题（本题共15分）
16.求下列常系数线性微分方程组的解:
‘dr
瓦”=宀 dy
—=—2x + 3j/
dt
17.在方程頒=f(x)<p(y )中，已知 fCx) , ^Cy )在(-oo,+oo)± 连续，且 *±1)=0.求 证:对任意女和b°|Vl,满足初值条件乂*。)= 的解乂*)的存在区间必为(一8,+8).
试卷代号：1076
国家开放大学（中央广播电视大学）2017年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2018年1月
一、 单项选择题（每小题3分，本题共15分）
I.A 2. C 3. D 4. C 5. B
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6u=yo + |” _/”（s （s））ds （或；yHjo + f f（s ）
J工0 J气
7 .满足丁 >0的上半平面
8.开
9.M惊厂
10.PCx0 ,yQ） =Q&o 必）=0
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
II.解分离变量积分，得
+ sirur ）dr + C （4 分）
营=-yJ：2 一 cosx + C （8 分）
12.解 先解齐次方程，通解为］”孚=一］■哼三dz+C
e 一工
即 y ~C — （4 分）
X
e
令非齐次方程的特解为了 =c&）—
X
代入原方程，求出C&）=工3 +C
Q x
原方程的通解为了= 一-（工3+C） （8分）
X
13.解 因为 —=2^=–，所以原方程是全微分方程.
dy dx
X
取（工0 以0）— （0,0），通积分为［（工3 + xy2 + X2）dj： =C
0
即扌T+!*勺2+?h3=C
14.解原方程为恰当导数方程，可改写为（3^’）’=0
即W =c
积分得通积分^=C/+G
1 P
15.解 令J =p s则工=瑟+ 3,原方程的参数形式为
‘工=丄+纟
.2P 2
,y’ = P
由 dj> =y’Ax，有 =?（— 赤 + ?） d@ =（—赤 + §） d?
积分有 y = —W*ln0 |+ + C
f 1
工=瑟+万
得原方程参数形式通解丿
y = —yln|/> |+ —+ C
a—1 一 i 1a0~
Ai = 2 + £对应特征向量满足:
b__ —21 —i_0_
［（—1 — i）a b —0
即｛
I— 2q + （1 — £） 3 = 0
解之得 3=（l +，）a，令 a=l,则 6=1 + /
五、证明题（本题共15分）
17.证明 由已知条件,该方程在整个砂平面上满足解的存在惟一及解的延展定理条件.
显然了 =士1是方程的两个常数解.
任取初值Go，了。），其中女£ （—00, +oo） , | jo | V 1.记过该点的解为y= :y&），由上面
分析可知，一方面》= »（工）可以向平面无穷远处无限延展;另一方面又上方不能穿过，=1,下
方不能穿过》= —1,否则与惟一性矛盾.故该解的存在区间必为（一8, +8）.
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