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国家开放大学（中央广播电视大学）2017年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程 试题（半开卷）
2017年6月 题 号 -二I—三一’ ~~ W R _~泰 ~~[/芬
分WT F 厂
得分评卷人
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1.微分方程工（1+.疽）& = 一財（1+工，）处的通解为＞ =（ ）.
A. （1 十工Z）（l–y2）= c B. （1—工‘）（1 + 必）=。
C. （1 一_rZ）（l — y2）=c D.d + x^d + ^^-C
dy
2.方程求=_/过点（]”）的钢的存在区间是（ ）.
A. （— 8.2） B. （Q, + 8）
C. （1 ＜+8） D- （—8,4-8）
| — =_r十’十引rw
3. 方程组＜ ‘ 的任一解的图像是（t^.y）空间中的（ ）-
省 =3工+2丿+?
A. 一条曲线 K两个曲面
C. 一个曲面 I）.两条曲线
4-三阶钱性齐次微分方程的所有解构成一个（ 〉线性空间.
A. 1维 B 2维
C. 3维 D. 4维
5.如果平顽自治奈统的解惟一，那么它在相平面上的轨线是（ ）.
A.不唯•一的 B.唯一的
C-奇点 D.闭轨
二、填空题（毎小题3分.本题共is分）
6.微分方程hQ/）2-2x/+z =。是 阶微分方程.
7,方程票+ysinx = eI的任一解的存在区间必是.
8,如果函数组在区间I是线性相关，那么它们的朗斯基行列式W（z）在区
9.二阶方程:/+h矿+工勺=0的等价方程组是.
&
畫=PO
奇点的充分条件是
得分评卷人
三、计鼻题（毎小题8分.本题共40分）
11.求可分离变量方程tanydx —cotidy =。的通积分.
12.求一阶线性齐次方程莹=j+拓的通积分.
13.求全微分方程2iy dx + （t2 — dj = 0的通积分.
14.求克莱洛方程j=xj, + 2（y,）3的通解.
15.求恰当导数方程””+或）2 = 0的通积分.
四、计算题（本题共15分）
16.求下列常系数线性微分方程组的通解：
料3工+女
孚=5工+ 2y
晶瑟［矗卷人 五、证明题（本题共15分）
17.证明：一阶微分方程
dy _ 苔吋 dx x2 + yz + l
的任一解的存在区间必是（一8,十8）,
试卷代号：1076
国家开放大学（中央广播电视大学）2017年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2017年6月
一、 单项选择题（毎小题3分,本题共15分）
1. D 2. A 3. A 4. C
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.—
7.( — 8, + x)
8.垣等于零
頒f b I =—工少一zF
10.P（j:0 ,y0>=Q（x（） ,y0）=O
三、计算题｛每小题8分，本题共40分）
11. 解 分离变量,两端取积分得= [^ + ln|C|
J tany J cotr
即 ln（sin^ ） — ^infcosx ） + in|C|
通枳分为sinj・coszr = C.
12.解 令~ = u,则y’ = u+x/,代入原方程，得
虫s=L丄
分离变量，积分得Ru板=[^dx + C
I? = [口0 | +C
原方程通积分为虹=z2（ln|z|+C）
13.解 因为^/愆寸）=2中，N（jf・少=’一号
2M
= 2jt =
3N
所以，原方程是全微分方程.
取（珏,少）= 9,1）,原方程的通积分为
彩it+j （ ）d/=G
即z七+丄=C
y
14.解原方程是克莱洛方程，通解为
y^Cx + 2Cs
]5.解原方程为恰当导数方程，可改写为
即》.y’=C
积分得通积分尸
四、 计算题（本题共M分）
16.解特征方程为
3 — X 4
[A-AEI- =U+2）以一7）~0
5 2-A
特征根为=
求出对=一2对应特征向量为
再求出b = 7对应的特征向量为[；]
所以，原方程组的通解为
五、 证明题（本题共15分）
17.证明 方程在全平面上满足解的存在惟一性定理的条件，又少=&4=0.±1, 士 2,
…，是方程的常数解. （6分）
对平面上任取的〈而—y。）
若则对应的是常数解其存在区间显然是（一8,+8） Q0分）
若以心以+ 1）»则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿
越y = kn和】=以+1山，于是解的存在区间必是（一8,+8）. （2分）
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