微信小程序试卷代号：1。76
座位号匚口
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程 试题（半开卷）
2017年1月
得分评卷人
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1.微分方程x2y’~y=X2^的通解为丿=（ ）.
A.厂工（z +C） B. ex （z +C）
C. e~7（z+C） D. e~ （x +C）
dy
2.方程務=丿冃戸过点（O,O）的解为w = sinx,此解的最大存在区间是（ ）.
A. ( — 8,4-00)
3.
C. ( — 00,0]
D. [0, + 8)
一阶线性非齐次方程组翌=厶（工）丫+尸（工），丫=（力，•••，*»的所有解（
A.构成一个72维线性空间
B.构成一个7/ + 1维线性空间
4.
C.构成一个无穷维线性空间
D.不构成一个线性空间
方程+j:2y = sinj：的所有解的最大存在区间一定是（ ）.
A. (一 8, +8)
B, ( — 8,0)
C. (0, +8)
D. /兀兀
的奇点。（0,0）的类型是（ ）.
A.焦点 B.中心
C.鞍点 D.结点
得 分 评卷人
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.微分方程（y’）2 —xy, =ysinx是 阶微分方程.
7.方程满足解的存在惟一性定理条件的区域是
ax
8.一阶线性非齐次方程组厂=厶（z）y+F（z）,y=（乂，•••，必尸的任一解的图像是〃 + ax
1维空间（z ,丿1 , •••»>„）中的 .
9.如阶线性齐次微分方程的如个解⑵（z）,…，代（工）构成基本解组的充分必要条件 是 .
dv 1
11.求可分离变量方程壬=万（寸一 1）的通解.
dv
12.求一阶线性非齐次方程工的通解.
13.求全微分方程（1 2sin2x）dj：—ycos2xd> — 0的通积分.
14.求克莱洛方程y^xy’+y’ — y’2的通解.
15.求恰当导数方程””+y’2 + l= 0的通积分.
生 2里空、 四、计算题（本题共15分）
16.求下列常系数线性微分方程组的通解:
得-會-评巻人 五、证明题（本题共15分）
17.证明：若火工）是初值问题
dy
dz “
y (0) =0
的解，则丁&）三0,其中？&）在区间（一8,+8）上连续.
试卷代号：1076
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）
1. C 2. B 3. D 4. A
2017年1月
5. B
二、 填空题（每小题3分，本题共15分）
6.—
7.满足了＞0的上半平面
8.一条曲线
9.线性无关（或填写：朗斯基行列式不为零）
10.稳定焦点
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
11.解 当/乂 1时，分离变量积分得
In
丁 一 1
丁+1
1+Cex
解得通解 丁 =］二隽］
dy v
12.解方程改写成/ = –^2
dx x
齐次通解为了 = Cz
令非齐次解为＞ = C（x）x
代入得 C（x） = –|x2+C
原方程通解为y~Cx~~x2,
［注丄用通解公式求解正确参照给分.
13.因为 M（x,jO = 1 +丁2sin2x ,N（工以）=—wcos2x
（4分）
（8分）
（3分）
（6分）
（8分）
aM
—2j/sin2jr
8N_
Bjc
所以原方程是全微分方程.
取工o=O,yo=O,原方程的通积分为
（1 + 丁 2 sin2z）dz —
ydy =C
o
即卫一
2 cos2x~C
14.解 克莱洛方程，通解为
y = Csc + C — C2
15.解 原方程为恰当导数方程，可改写为 （x/）’= _]
即 3^/ = —z+Ci
分离变量,取积分卜心=j（一 z +G）dz +G
得原方程的通积分为：j>2 = -j（^-C1）2+C2
（3分）
（6分）
（8分）
（8分）
（3分）
（6分）
（8分）
四、计算题（本题共15分）
16.解特征方程为人2—4人一5 = 0,
特征根为A1 = — 1,人2=5,
人1 = 一1和A2 = 5对应的特征向量分别为
ME
故原方程组的通解为
（15 分）
五、证明题（本题共15分）
17.证明因为_/”&，y）=/>（x）siny（工）cosy ,由已知条件，方程在全平面 上满足解的存在惟一性定理的条件. （6分）
又显然以&）=。是方程的一个常值解，且满足初值条件^（0）=0. （10分）
因此，由解的惟一性，若函数了&）是该方程满足3»（0）=0的解，那么了（工）三0. （15分）
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