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国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程 试题（半开卷）
2016年7月
得 分 评卷人
、单项选择题（每小题3分,本题共15分）
1.微分方程力/ = I的通解为,=(
A. C.+ ln | x |
C. Clnr
2.方程£=刀-丿2 +1().
A.有奇解^ = ±1
C.无奇解
B. C — Inx
D. xlnr
B.有奇解y = l
3.方程组r = F（工,丫）,工£7?,丫£依 的任何一个解的图像是4维空间中的（ ）.
A. 一族曲面
B.-族曲线
D. 一条曲线 一阶线性非齐次微分方程组的任两个非零解之差（: A.是非齐次微分方程组的通解 C,是非齐次微分方程组的解
C. 一个曲面
B.
D.
是其对应齐次微分方程组的解 不是其对应齐次微分方程组的解
5.
纯量方程岸 中，当a<0时，其零解是（
）的.
A.正定
B.
负定
C.渐进稳定
D.
不稳定
得分评卷人
二、填空题（毎小题3分,本题共15分）
d，尤
6.微分方程石7+中=0是 阶微分方程.
7.方程£= I刃满足解的存在惟一性定理条件的区域是 .
8.向量函数组VJx）,¥2（x）,-,F„（工）线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式
W（z） = 0.
9.二阶线性方程矿+了=0的基本解组是 ■
三、计算题（毎小题8分,本题共40分）
11.求可分离变量方程煮=丿3一1）的通积分。
12.求一阶线性齐次方程+|■的通积分。
13.求全微分方程e”（2丿+工厂，）dy =0的通积分。
14.求克莱洛方程y=xyr+yri的通解。
15.求恰当导数方程y〃+3’）2+3k = 0的通积分.
得分|评卷］
四、计算题（本题共15分）
16.求下列常系数线性微分方程组的通解;
17-试证明:对任意工。及满足条件0<^0<1的贝，方程
dy_ y（y-‘l）
dr 1+x2 ~\~y2
的满足条件7（^o）=^o的解jr=7（x）在（一8,十8）上存在.
国家开放大学（中央广播电视大学）2016年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2016年7月
一、 单顼选择题（每小題3分,本題共15分）
I.A 2.C 3. D 4. B 5. C
二、 埴空题（毎小题3分,本题共15分）
6.二
7.全平面
8.必要
9.cosx, sinr
10.不稳定结点
三、 计算题（毎小题8分,本题共40分）
II. 解当。时，分离变量，得
积分，得J讯二濟+G 或 1 -；）如=］近 + Ci （3分）
（5分）
ln|y — l| —lid, | =x + Ci
通积分为—= Ce”
y （8分）
rlv du
12.解 令俱，则长+h在，代入原方程，得
du , “ ▲
x —=5/1_uz
nr
分离变量，取不定积分，得
ULt+ms （3分）
（6分）
V
原方程的通积分为* arcsin — = InCx
JC （8分）
335
13.解 M（工=厂，，N（z ,；y） = （2y+zeP）
8M _ aN
=—e y ——
Sy &
因此，原方程是全微分方程.
取（五），贝）H （0,0、原方程的通积分为
J dr — J 2ydy =C
即工厂，一y2=C
14.解 克莱洛方程,通解为
y = Cx+C2
15.解原方程是恰当导数方程,可写成
（方’+工”=0
即 yyr+^3 =Ci
分离变量解此方程，通积分为
扌：/ = C件-―?+役
四、 计算题（本题共15分）
16.解特征方程为|A—人E|= 1 1 =（人一3）。+1）=0
4 IT
特征根丄=3以z = — 1
A>=3对应的特征向量为（；）
A2 = -l对应的特征向量为（I?）
原方程组的通解为（；）=G（2；） +G （一旗）
五、 证明题（本题共15分）
V f V — 1）
17.证明由于須怂以）=]\二+守
rJ . 、_ （2y —1）（1+®+寸）一— 1）2/
f 心力=（l+P+Ty
在全平面上连续,所以原方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理条件.
（7分）
又显然丿=0点=1是方程的两个特解. （10分）
现任取工任（一8,+8）,第£ （0,1）,记丁 =丿（工）为过（心，第）的解，那么这个解可以惟 一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越了 =】，下不能穿越丿=0,因此它的存在区间必为 （―oo ,4-00）. （15 分）
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