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国家开放大学（中央广播电视大学）2015年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程 试题（半开卷）
2016年1月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
1.微分方程的丿’一产=工的通解为广（ ）.
A. —x2 +Cr B. x2 + Cx
C. 一x2 +C D. x2+C
2.方程殺=石+1的奇解（）■
A. 一个也没有 B.有无数个
C.只有一个 D.只有两个
3.向量函数组Y,（x）,Y2（x）,-,YAt）的朗斯尔行列式”（z）=0是它们线性相关的
（）条件.
A.充分必要 B.充分
C.必要 D.既不是充分也不是必要
4.已知方程xy+y=^x的一个特解为 工气又对应齐次方程+ 0有一个特解为
Imr,则原方程的通解为（）.
A. —Cjx+Cz lnx+x2 B. y~Cx x2, + C2 In+x2
C. y — C\ +C2liKr4-x2 D. y—C^x3 ~}~C2 lnjr+jc2
B.不稳定结点
D.鞍点
得分评巻人
二、填空题（每小题3分，本题共15分）
6.微分方程工””= z3’）3 —丿勺’=0是 阶微分方程.
7.方程^ = xsin（工+丿）满足解的存在惟一性定理条件的区域是 .
8.两个不同的线性齐次微分方程组的基本解组是 的.
9.方程的£+2三+z = e，的任一解的图像是三维空间。，工，長）中的 .
等=2工+3了 .
10.平面系统｛ 的奇点类型是 .
尊=工+ 3了
得分评卷人
三、计算题（每小题8分，本题共40分）
11.求可分离变量方程= 的通积分.
12.求一阶线性非齐次方程皇+ 2工丿=4z的通解.
13.求全微分方程ey+2^）3>=0的通积分.
14.求克莱洛方程y = 的通解.
15.求可降阶的高阶方程y3yf+l= 0的通积分.
16.求下列常系数线性微分方程组的通解:
17.在方程甲3）中，已知.心），矿（工）在（一8,+8）上连续，且？（士 1）=0.求 证：对任意五和bol VI,满足初值条件义工。）=%的解贝工）的存在区间必为（一8, +8）.
国家开放大学（中央广播电视大学）2015年秋季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2016年1月
一、 单项选择题（每小题3分,本题共15分）
1. B 2. A 3. C 4. C 5. D
二、 填空题（每小题3分,本题共15分）
6.二
7.全平面
8.不同
9.—•条曲线
10.不稳定结点
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
11.解 当时,分离变量取不定积分，得J 湍;=j& + C 通积分为：lny = Ce’
12.解对应的齐次方程 （4分）
（8分）
囂+ 2巧=0
的通解为：；
令非齐次方程解为y = C（工）e-、
代入原方程，得C（^）-2e?+C
原方程通解为:/ = Ce->+2
［注］:用通解公式求解正确参照给分.
13.解由于挚=寸=尊,所以原方程是全微分方程. dy dx
取（工。，外）=（0,0）,原方程的通积分为 （4分）
（8分）
（3分）
1 e^dj; + J 2yd.y ~ C
J 0 J 0
即 g+J=C （6分）
（8分）
331
14.解这是一个克莱洛方程，因此通解为 y^Cx+C+C2
（8分）
15.解 令J = = 代人方程，得
pdp= — dy
积分，得
（3分）
# = A+C=1 + ?寸
) :y
dy^iVT+Cyr
& — y
（5分）
分离变量，积分得f 丁經•…=士 [dz + G J + Cy2 J
原方程的通积分为i + cy =（ar+C3）2
四、计算题（本题共15分）
16.解特征方程为
5-A 4
4 5-A
|A-aE| =
= (A—1)(A —9)=0
特征根为以I = 1以z =9 当A;=l时，对应特征向量修]满足：
则有a+b~0.
取a=l,b= — l,对应解为:
同理，当A2 =9时，对应特征向量为:
（8分）
（5分）
_4 4
.4 4
1
（10 分）
(13 分)
所以，原方程组的通解为：匕卜京
五、证明题（本题共15分）
17.证明 由已知条件，该方程在整个工。丿平面上满足解的存在惟一及解的延展定理条 件.显然丿=± 1是方程的两个常数解. （5分）
任取初值&0 ,%）,其中8,+8），3o| VI.记过该点的解为y = y（.x），由上面分 析可知，一方面y = yCx）可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过丿=1,下方 不能穿过＞==-1,否则与惟一性矛盾、故该解的存在区间必为（一8,+8）. （15分）
（15 分）
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