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国家开放大学（中央广播电视大学）2015年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程 试题（半开卷）
2015年7月
题号 一 二 三 四 五 总分
分数
1. 一阶变量可分离微分方程M（x）N（j/）dr+P（x）Q（y）d3；=0的积分因子是（ ）.
N(j/)P(z)
C”—PCr)Q3)
5.相平面上的一条轨线对应平面自治系统的（ ）积分曲线.
A,无穷条
C.二条
得分评卷人
二、填空题（每小题3分9本题共15分）
6.方程3+l）dz+Cr+l）d;y=0所有常数解是 .
7.方程字= z2+cos、满足解的存在惟一性定理条件的区域是 .
8.二阶方程J+g&”=0的等价方程组是 •
9.二阶线性方程/+2/ + 3，= 0的基本解组是 .
—y
得分评卷人
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
11.求可分离变量方程（1+z）ycLr+（l—j0zdy=0的通积分.
12.求一阶线性非齐次方程翌+乏=工2的通解.
ClX X
13.求全微分方程（jFcosx+2xe：y）clx+（sinj：H-x2e> + 2）dy=0 的通积分.
14.求克莱洛方程y=xy y — 的通解.
15.求恰当导数方程yy—y，z +>2cosx=0的通积分•
得分评卷人
四、 计算题（本题共15分）
16.求二阶常系数线性非齐次方程i+x = sini的通解.
五、证明题(本题共15分)
17.设P&)一个多项式函数，证明：方程
= P(x)cosv ax
所有解的存在区间必为(-oo,-4-oo).
国家开放大学（中央广播电视大学）2015年春季学期“开放本科”期末考试
常微分方程试题答案及评分标准（半开卷）
（供参考）
2015年7月
一、 单项选择题（每小题3分,本题共15分）
1.B 2. A 3.C 4.D 5. A
二、 填空题（毎小题3分，本题共15分）
6. y= — 1 ,工=—1
7 .全平面
dy_
票=一/（1）少一 g（z»
9.e_x
10.鞍点
三、 计算题（每小题8分，本题共40分）
11.解将方程改写为
宁d广爭& （4分）
积分得 y—ln|;y| =z+ln|z|+C
即通积分为_y —二一ln|zy| =C （8分）
r
12.解 齐次方程的通解为3^=- （4分）
X
设原方程的通解为、=罕
代入原方程，得 C（x）=y + C
所以，原方程的通解为（8分）
［注］用通解公式求解正确参照给分.
方程是全微分方程，取（xo,yo）= （O,O）
原方程的通积分为
J （.ycosa: + +〔2心=C
0 0
即 ‘sinz+j^e，+2）=C
14.解 克莱洛方程，通解为:尸Cx+C—姪
〃_ ，2
15.解方程改写成竺m- + cosi=0,
y
或（3 + sinx），= 0,即丄翌+ sin:r=Ci y ‘ drr
积分得原方程通积分为InljJ—cosz = Gz+C2
四、计算题（本题共15分）
16.解对应齐次方程的特征方程是盲+ i = o
特征根为為,2 = 士，，齐次方程的通解为
x=C\ cost+C2 sin,
因为a士御=±，是一重特征根.故非齐次方程有形如
Xi （i） =i（Acosi + BsinZ）
的特解，代入原方程，得A=-§,B = 0
故原方程的通解为x = Ci cosi+C2 sin/—■ least 五、证明题（本题共15分）
17.证明 因为 P&）在（一co, +oo）上连续，cosjy 及（cosj»），= — sinj;在（一oo,+8）上连
续，所以该方程在全平面上满足解的存在惟一性定理及解的延展定理. （6分）
又显然尸号+&•以=0,士 1,士2,…是方程的常数解.
现设了 =火％）是方程的任一解，若其初值在常数解、=号+撮上，则由解的惟一性，丁&）
=号+为兀的存在区间必为（-oo,+qo）.若其初值落在上述两个常数解之间，那么由解的惟一 性和解的延展定理,/ =、&）可向平面的无穷远无限延展，同时又不能上下穿越这两个常数 解，故其存在区间必为（-oo,4-oo）. （15分）
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